[論文レビュー] Moduli spaces of hyperbolic 3-manifolds and dynamics on character varieties

Richard D. Canary, Peter A. Storm|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな双曲的3次元多様体 $M$ について、外自己同型群 $\mathrm{Out}(π_1(M))$ が変形空間 $AH(M)$ およびその商 $AI(M) = AH(M)/\mathrm{Out}(π_1(M))$ に作用する動的性質を調査する。主な結果は、$AI(M)$ がハウスドルフ（したがって $\mathrm{Out}(π_1(M))$ が $AH(M)$ 上で properly discontinuous に作用する）であるための必要十分条件が、$M$ に原始的本質的円柱が存在しないこと、特に $M$ にトーラス境界成分がないことである。

ABSTRACT

The space AH(M) of marked hyperbolic 3-manifold homotopy equivalent to a compact 3-manifold with boundary M sits inside the PSL_2(C)-character variety X(M) of π_1(M). We study the dynamics of the action of Out(π_1(M)) on both AH(M) and X(M). The nature of the dynamics reflects the topology of M. The quotient AI(M)=AH(M)/Out(π_1(M)) may naturally be thought of as the moduli space of unmarked hyperbolic 3-manifolds homotopy equivalent to M and its topology reflects the dynamics of the action.

研究の動機と目的

• コンパクトな双曲的3次元多様体 $M$ に対して、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ が変形空間 $AH(M)$ および表現多様体 $X(M)$ に作用する動的性質を理解すること。
• $AI(M) = AH(M)/\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ という商空間の位相的性質を解析し、$M$ にホモトピー同値な未マークされた双曲的3次元多様体のモジュライ空間として解釈すること。
• $AI(M)$ がハウスドルフであるか、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ が $AH(M)$ 上で properly discontinuous に作用するかの条件を、$M$ の幾何的位相的構造と関連付けて特定すること。
• $M$ に原始的本質的円柱が存在するか否かに応じて、$AI(M)$ の完全な位相的分類を確立すること。
• $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ の性質だけでなく、$M$ の特定の位相的構造（特に特徴的胞体と境界構造）が、動的性質や商の位相に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• $AH(M)$ を $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-表現多様体 $X(M)$ に埋め込むことで、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ が両空間に作用する性質を活用する。
• 3次元多様体のジョンソンの分類定理を用いて、$M$ の特徴的胞体の構造と、外自己同型が区間バンドル成分に作用する様子を解析する。
• 区間バンドル成分 $\Sigma_i$ への制限写像 $r_i$ と、射影構造の空間 $PS(\Sigma_i)$ を用いて、$X(M)$ 内で $AH(M)$ の開かつ $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-不変な近傍 $W(M)$ を構成する。
• 本質的で、$∂ M$ に同倫的に埋め込めない、かつコア曲線が最大アーベル部分群を生成するような正則埋め込み円柱（原始的本質的円柱）を、主要な位相的不変量として用いる。
• $X(M)$ 上の作用の動的性質、特に自己同型列の挙動を用いて、コンパクト集合からの脱出を示し、properly discontinuous であることを証明する。
• 補題9.4および補題9.5を適用し、$W(M)$ 内のコンパクト集合の $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-軌道が有界のままであれば矛盾が生じることを示し、これにより properly discontinuous であることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな双曲的3次元多様体 $M$ に対して、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ が $AH(M)$ 上で properly discontinuous に作用するのはいつか？
• RQ2 どのような位相的条件が、商空間 $AI(M) = AH(M)/\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ がハウスドルフであることを保証するか？
• RQ3 $M$ に原始的本質的円柱が存在する場合、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ の $AH(M)$ および $X(M)$ 上の作用にどのような影響を与えるか？
• RQ4 $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ が $AH(M)$ 上で properly discontinuous に作用しないのはどのような場合か？ その失敗の背後にある $M$ の位相的特徴は何か？
• RQ5 $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ が無限大でも、モジュライ空間 $AI(M)$ がハウスドルフであることは可能か？ どのような条件下で可能か？

主な発見

• $AI(M)$ が $T_1$ であるのは、$M$ が非ねじれ区間バンドルでないときであり、区間バンドルの場合には無限位数自己同型の固定点が存在するため $AI(M)$ は $T_1$ でない。
• $AI(M)$ がハウスドルフであるのは、$M$ に原始的本質的円柱が存在しないとき、特に $M$ にトーラス境界成分がないときである。
• $M$ に原始的本質的円柱が存在するならば、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ は $AH(M)$ 上で properly discontinuous に作用せず、$AI(M)$ はハウスドルフでない。
• $M$ がアセイル（非圧縮境界、本質的円柱なし）であるとき、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ は有限であるため、$AH(M)$ および $X(M)$ 上で properly discontinuous に作用する。
• $M$ に原始的本質的円柱がなく、トーラス境界成分もなければ、$X(M)$ 内で $AH(M)$ の開かつ $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$-不変な近傍 $W(M)$ が存在し、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ はその上で properly discontinuous に作用する。
• properly discontinuous であるという結論は、$\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ の群構造だけでなく、$M$ の位相的構造に依存しており、例として $\mathrm{Out}(\pi_1(M))$ がほとんどアーベルであるが、原始的本質的円柱の存在により作用が proper でない場合がある。