[論文レビュー] Moduli spaces of Ricci positive metrics in dimension five

McFeely Jackson Goodman|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、5次元多様体上のリッチ正の計量のモジュライ空間の道的に接続された成分を区別するために、スピン^cディラック作用素のη不変量を用いる。特定のS¹ bundle（#ᵃℂℙ² #ᵇℙ̄ℂℙ² を底面とする）で、第一チャーン類が原始的であり、w₂(TB⁴) ≡ d mod 2 を満たすものについて、モジュライ空間が無限個の成分を持つことを証明し、この性質をもつ無限個の微分同相でない5次元多様体が存在することを確立する。

ABSTRACT

We use the $η$ invariants of spin$^c$ Dirac operators to distinguish connected components of moduli spaces of Riemannian metrics with positive Ricci curvature. We then find infinitely many non-diffeomorphic five dimensional manifolds for which these moduli spaces each have infinitely many components. The manifolds are total spaces of principal $S^1$ bundles over $\#^a\mathbb{C}P^2\#^b\overline{\mathbb{C}P^2}$ and the metrics are lifted from Ricci positive metrics on the bases. Along the way we classify 5-manifolds with fundamental group $\mathbb{Z}_2$ admitting free $S^1$ actions with simply connected quotients.

研究の動機と目的

• 5次元多様体上のリッチ正の計量のモジュライ空間の連結成分を、スペクトル不変量を用いて区別すること。
• リッチ正の計量のモジュライ空間が無限個の道的成分を持つような、無限個の微分同相でない5次元多様体を構成すること。
• 自明でないS¹作用をもち、商が simply connected であるような5次元多様体を分類すること。
• このような5次元多様体が、微分同相な商を持つ無限個の同値でない自由S¹作用をもつための条件を確立すること。
• 底面4次元多様体上のリッチ正の計量が、全空間における異なるリッチ正の計量を生成するために、上に上げられることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、リッチ正の計量のモジュライ空間における異なる道的成分を検出するために、スピン^cディラック作用素のη不変量をモジュライ空間不変量として用いる。
• 全空間を、#ᵃℂℙ² #ᵇℙ̄ℂℙ² と表される底面4次元多様体上のリッチ正の計量の上に上げることで、5次元多様体上の計量を構成する。ここで a + b ≥ 2 である。
• 全空間は、第一チャーン類が 2d であるような底面への主S¹ bundle であり、d は原始的で、w₂(TB⁴) ≡ d mod 2 を満たす。
• このような5次元多様体の分類は、|a − b| mod 4 に依存し、それぞれの底面に対して2、3、または4種類の微分同相型が得られる。
• この方法は、全空間の普遍被覆が #ᵃ⁺ᵇ⁻¹S³×S² に微分同相であり、デック変換群が ℤ₂ として作用することに依存する。
• KreckとStolzの正のスカラー曲率に対する手法を一般化し、S¹作用における測地的軌道の仮定を除外することで、より広いクラスの5次元多様体に適用可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン^cディラック作用素のη不変量は、5次元多様体上のリッチ正の計量のモジュライ空間における異なる道的成分を検出できるか？
• RQ2 π₁(M) = ℤ₂ をもつどの5次元多様体について、リッチ正の計量のモジュライ空間が無限個の道的成分を持つのか？
• RQ3 第一チャーン類とステイフェル＝ブリュア類の間にどのような条件が、5次元多様体が無限個の同値でない自由S¹作用（商が単連結）をもつことを保証するか？
• RQ4 単連結4次元多様体のコホロジー環は、π₁ = ℤ₂ をもつその上へのS¹ bundle の微分同相型をどのように決定するか？
• RQ5 4次元多様体上のリッチ正の計量は、そのS¹ bundle 上で無限個の幾何学的に異なるリッチ正の計量を生成するために、上に上げられるか？

主な発見

• M⁵ が #ᵃℂℙ² #ᵇℙ̄ℂℙ² を底面とし、a + b ≥ 2 かつ第一チャーン類が 2d（d は原始的で、w₂(TB⁴) ≡ d mod 2 を満たす）である主S¹ bundle であるとき、5次元多様体 M⁵ 上のリッチ正の計量のモジュライ空間は無限個の道的成分を持つ。
• 各々のこのような底面に対して、|a − b| mod 4 に応じて、2、3、または4種類の微分同相型の全空間 M⁵ が存在する。
• 各々の such M⁵ は、微分同相的に底面4次元多様体となる商を持つ無限個の同値でない自由S¹作用をもつ。
• M⁵ の普遍被覆は #ᵃ⁺ᵇ⁻¹S³×S² に微分同相であり、M⁵ は非スピン的で、単連結な普遍被覆を持つ。
• η不変量は、リッチ正の計量のモジュライ空間における成分を区別し、KreckとStolzのスカラー曲率に対する不変量をリッチ曲率へと拡張する。
• 測地的軌道でないS¹軌道を許容することで、従来の手法を一般化し、リッチ正の計量をもつより広いクラスの5次元多様体への適用可能性を拡大する。