[論文レビュー] Moduli spaces of semiorthogonal decompositions in families

Pieter Belmans, Shinnosuke Okawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、滑らかで射影的スキームの族における完全複体の半直交分解を分類するモジュライ空間を構成し、それが底層上でのエタール代数的空間であることを証明する。半直交分解と対角の分解三角形との間の変形論的比較を用いることで、このような分解がエタール近傍上で一意に変形可能であることが示され、Artinの代数的空間の基準を満たすモジュライ函手の構成が可能になる。

ABSTRACT

To a smooth and proper morphism $\mathcal{X} o U$ with quasicompact semiseparated target we associate a sheaf in the étale topology, which takes an affine $U$-scheme $V$ to the set of $V$-linear semiorthogonal decompositions (of fixed length) of the category $\operatorname{Perf}\mathcal{X}_V$. We use Artin's criterion to prove that, when $U$ is excellent, this is in fact an algebraic space which is moreover étale (though in general non-quasicompact and non-separated) over $U$. We moreover generalise the construction of the sheaf to families of geometric noncommutative schemes in the sense of Orlov. We also define a subfunctor classifying nontrivial semiorthogonal decompositions, and conjecture it is an open and closed subspace. Along the way, we prove that for a smooth and proper family of schemes, a semiorthogonal decomposition of the bounded derived category of coherent sheaves of a fibre uniquely deforms over an étale neighbourhood of the point.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的スキーム族における完全複体の半直交分解を分類するモジュライ空間を構築すること。
• 半直交分解が底層の点のエタール近傍上で一意に変形可能であることを証明し、局所的剛性を保証すること。
• Orlovの意味での幾何的非可換スキーム族へのモジュライ構成を一般化すること。
• 非自明な半直交分解のみを分類する開部分空間を定義し、導来カテゴリの分解不能性を研究するのに有用にする。
• Artinの基準を用いて、モジュライ空間をエタール代数的空間として特定すること。これは、非準コンパクトかつ非分離である可能性がある。

提案手法

• 導来カテゴリにおける半直交分解と対角の分解三角形との間の比較を確立する。
• 付録で開発された、ターゲットの固定リフトを伴う準同型のための新しい変形理論を適用し、分解三角形の変形を制御する。
• 擬コherrent性と導来ベースチェンジの2つ取り出し性を用いて、制限下での完全複体に対する本質的像条件を検証する。
• 家族 $ f: X \to S $ に対して、$ \operatorname{Perf}X $ の半直交分解を分類するモジュライ函手 $\mathsf{SOD}_f$ を構成する。
• 函手 $\mathsf{SOD}_f $ が底層スキーム $ S $ 上でのエタール代数的空間であることを示すArtinの基準の条件を検証する。
• 対角の分解三角形が半直交分解の変形を制御することを活用し、固定ターゲットリフトを伴う準同型の変形理論に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的族の導来カテゴリの半直交分解は、底点のエタール近傍上で一意に変形可能か？
• RQ2 完全複体の半直交分解を分類するモジュライ空間は存在するか？ その幾何的性質は何か？
• RQ3 固定ターゲットリフトを伴う準同型の変形理論は、半直交分解の変形をどのように制御できるか？
• RQ4 非準コンパクトまたは非分離である場合でも、半直交分解のモジュライ空間がエタール代数的空間であることを示せるか？
• RQ5 対角の分解三角形は、家族における半直交分解の変形をどのように制御するか？

主な発見

• 滑らかで射影的族におけるファイバーの導来カテゴリの半直交分解は、底点のエタール近傍上で一意に変形可能である。
• 半直交分解を分類するモジュライ函手 $\mathsf{SOD}_f$ は、底層スキーム上でのエタール代数的空間であり、非準コンパクトかつ非分離である可能性がある。
• 構成は、半直交分解と対角の分解三角形との間の比較に依存し、固定ターゲットリフトを伴う準同型の変形理論に問題を還元する。
• 準同型のリフトの変形障害群と自己同型群は、それぞれファイバーにおける $\operatorname{Ext}^1$ および $\operatorname{Ext}^0 $ 群によって計算される。
• 非自明な半直交分解のモジュライ空間は開部分空間であり、例における導来カテゴリの分解不能性の研究に用いられる。
• 結果は、Orlovの意味での幾何的非可換スキーム族へ一般化可能であり、古典的スキームを超えたモジュライ構成を拡張する。