[論文レビュー] The special McKay correspondence and exceptional collection

Akira Ishii, Kazushi Ueda|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限小部分群 $G \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ に対する商スタック $[\mathbb{A}^2/G]$ の一貫的層の導来カテゴリの半直交分解を確立する。これは、完全な例外的コレクションと最小解消の導来カテゴリへの分解であることを示している。主な結果は、 McKay 対応を $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ を超えて一般化するもので、導来 McKay 関手の像の直交補空間内に明示的な例外的コレクションを構成することにより達成される。ここでは、ルート構成とアーベル化技術が用いられる。

ABSTRACT

We show that the derived category of coherent sheaves on the quotient stack of the affine plane by a finite small subgroup of the general linear group is obtained from the derived category of coherent sheaves on the minimal resolution by adding a semiorthogonal summand with a full exceptional collection. The proof is based on an explicit construction in the abelian case, together with the analysis of the behavior of the derived categories of coherent sheaves under root constructions.

研究の動機と目的

• 有限小部分群 $G \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ に対する $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ の部分群に限らない導来 McKay 対応の拡張を図ること。
• $G \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ のとき $D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ に例外的対象が存在しないという欠落を、例外的コレクションを含む半直交分解を特定することによって解決すること。
• 最小解消の導来カテゴリからの完全忠実関手を用いて、可換でない非クリープント解消の非可換記述を提供すること。

提案手法

• 巡回群のアーベルの場合を用いて、特別な表現の連分数展開を介して、$D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ に完全な例外的コレクションを明示的に構成する。
• 繰り返しヒルベルトスキームとルート構成を用いて、完全忠実関手 $\Phi' : D^b(\mathrm{coh} Y) \to D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ を構成する。
• 商スタックの特異点を解消するために、単純な正規交叉除集合に沿ったルート構成を可能にするために、標準スタック構成を適用する。
• 安定層のモジュライ空間上の普遍族を活用して、積分関手 $\Phi'$ のカーネルを定義する。
• 特に $Y_0 = G_0$-Hilb($\mathbb{A}^2$) および $A = G/G_0$ が巡回群であるとき、$D^b(\mathrm{coh}[Y_0/A]) \cong D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ の同型を用いて、一般の場合をアーベルの場合に還元する。
• ルート構成と標準スタックの結果を応用して、商スタックと最小解消の導来カテゴリの関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限小部分群 $G \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ に対して、非クリープント解消についても導来 McKay 対応を拡張できるか？
• RQ2 $G \not\subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ のとき、$D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ は完全な例外的コレクションをもつか？
• RQ3 導来 McKay 関手の像の半直交補空間は、例外的コレクションとしてどのように記述できるか？

主な発見

• 任意の有限小部分群 $G \subset \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ に対して、導来カテゴリ $D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ は、$G$ の非特別な既約表現の数に等しい長さの完全な例外的コレクションと、最小解消の導来カテゴリの像への半直交分解を持つ。
• 例外的コレクションは、$G \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ であっても、$D^b(\mathrm{coh}[\mathbb{A}^2/G])$ に例外的対象が存在しない場合でも、等変 McKay 対応とルート構成を用いて構成される。
• この構成は、反復ヒルベルトスキーム $Y_2 = A$-Hilb($G_0$-Hilb($\mathbb{A}^2$)) を安定層のモジュライ空間として特定することに依存し、完全忠実関手 $\Phi'$ の構成を可能にする。
• 2次元の可逆多項式スタックの粗モジュライ空間に関連する標準スタックは、逐次的なルート構成を用いて完全な例外的コレクションをもつことが示された。
• 特に $n=4$ のとき、可逆多項式に関連する2次元のデリーニュ＝ムムフォードスタックは、定理1.4および補題10.1の結果から完全な例外的コレクションをもつ。
• 証明により、導来 McKay 関手の像の半直交補空間が、例外的コレクションによって生成されること、すなわち元のカーネル $\{O_0 \otimes \rho\}$ が例外的でない場合でも同様であることが示された。