[論文レビュー] Moduli Spaces of Semistable Sheaves on Projective Deligne-Mumford Stacks

Fabio Nironi|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、生成層と極性化を用いたギーゼッカー型安定性条件を導入することで、射影的でタウなデリーニ＝ムーディー・スタック上の半安定層のモジュライ空間を構成する一般枠組みを確立する。同定義により、係数層のスタックが代数的で滑らかなアトラスを持つことを証明し、半安定層のモジュライスタックを有限型グローバル商として構成する。さらに、この構成は既知のねじれ層や放物層のモジュライ空間を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

We introduce a notion of Gieseker stability for coherent sheaves on tame Deligne-Mumford stacks with projective moduli scheme and some chosen generating sheaf on the stack in the sense of Olsson and Starr \cite{MR2007396}. We prove that this stability condition is open, and pure dimensional semistable sheaves form a bounded family. We explicitly construct the moduli stack of semistable sheaves as a finite type global quotient, and study the moduli scheme of stable sheaves and its natural compactification in the same spirit as the seminal paper of Simpson \cite{MR1307297}. With this general machinery we are able to retrieve, as special cases, results of Lieblich \cite{MR2309155} and Yoshioka \cite{MR2306170} about moduli of twisted sheaves and parabolic stability introduced by Maruyama-Yokogawa in \cite{MR1162674}.

研究の動機と目的

• 射影的でタウなデリーニ＝ムーディー・スタックに生成層と極性化を持つとき、その上の連続層に対してギーゼッカー安定性の概念を定義すること。
• このようなスタック上の連続層のスタックが代数的であり、Quot函子を用いて滑らかなアトラスを持つことを証明すること。
• 半安定層のモジュライスタックを有限型グローバル商として構成し、そのコンパクト化を研究すること。
• ルートスタック上の半安定層のモジュライ空間が放物層のモジュライ空間と同型であることを示し、Maruyama-Yokogawaらの結果を回復すること。
• ねじれ層と放物層の既存のモジュライ構成を、単一のスタック理論的枠組みで統一・一般化すること。

提案手法

• モジュライスキームへの押し出しと選択された極性化を用いて定義される修正されたヒルベルト多項式に基づく安定性条件を導入する。
• 平坦な商をパラメトライズするためのQuot函子 $\mathcal{Q}_{N,m} = \operatorname{Quot}_{\mathcal{X}/S}(\mathcal{E}^{\oplus N} \otimes \pi^*\mathcal{O}_X(-m))$ を用い、これらが射影的スキームによって代表可能であることを示す。
• これらのQuotスキームの開部分スキーム $\coprod \mathcal{Q}^{0}_{N,m}$ の直和として、スタック $\mathfrak{Coh}_{\mathcal{X}/S}$ の滑らかなアトラスを構成する。
• タウな設定において、コホノロジーと基底変換、半連続性、平坦性の基準を適用し、安定性の開性と半安定族の有界性を保証する。
• ルート構成を用いてスタック上の層とスキーム上の放物層を関連させ、平坦族と安定性条件の同値性を示す。
• グローバル商スタックの道具立てを用いて、半安定層のモジュライスタックを有限型アーティンスタックとして構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成層と極性化を用いて、射影的デリーニ＝ムーディー・スタック上の連続層に対してギーゼッカー型安定性条件を定義できるか？
• RQ2 このようなスタック上の連続層のスタックは代数的であるか。また、明示的な滑らかなアトラスを備えているか？
• RQ3 射影的デリーニ＝ムーディー・スタック上の半安定層のモジュライスタックは、有限型グローバル商構成を備えているか？
• RQ4 この一般枠組みは、既知のねじれ層や放物層のモジュライ空間を特別な場合として回復できるか？
• RQ5 ルートスタック上の半安定層のモジュライ空間は、基本スキーム上の放物層のモジュライ空間と同型であるか？

主な発見

• 射影的デリーニ＝ムーディー・スタック上の連続層のスタック $\mathfrak{Coh}_{\mathcal{X}/S}$ は代数的であり、Quotスキームの開部分スキーム $\coprod \mathcal{Q}^{0}_{N,m}$ の直和として与えられる滑らかなアトラスを持つ。
• 修正されたヒルベルト多項式に基づく安定性条件は開であり、純次元の半安定層は有界族をなす。
• 半安定層のモジュライスタックは、有限型グローバル商スタックとして構成され、シンプソンのアプローチをスタックへ一般化する。
• 生成層 $\mathcal{E} = \bigoplus_{i=0}^d \mathcal{O}_{\mathcal{X}}(i\mathcal{D})$ を持つルートスタック $\mathcal{X} = \sqrt[d]{D/X}$ に対して、半安定層のモジュライ空間は固定された重みを持つ放物層の粗モジュライ空間と同型である。
• スタック $\mathcal{X}$ 上の半安定層のモジュライ空間 $M^{ss}(\mathcal{O}_X(1), \mathcal{E}, P)$ は、Maruyama-Yokogawa [MY, 92, Def 1.14] で定義された放物層の粗モジュライ空間と同型である。
• スタック $\mathcal{X}$ 上の安定層のモジュライ空間 $M^s(\mathcal{O}_X(1), \mathcal{E})$ は、[MY, 92, Thm 3.6] で定義された安定放物層のモジュライ空間と同型である。