[論文レビュー] Moduli spaces of SL(r)-bundles on singular irreducible curves

Xiaotao Sun|ArXiv.org|Mar 17, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一般化されたギーゼッカー空間を用いて、1つのノードを持つ特異的で非可約な曲線上のSL(r)-バンドルの良好なモジュライ空間を構成し、固定された決定因子を持つベクトルバンドルの退化族のscheme理論的像が、純粋なcodimension gのコhen＝マカウレイ部分スキームであることを証明する。この構成により、固定された決定因子を持つ半安定層のモジュライ空間に自然なスキーム構造が与えられ、SL(r)-バンドルのモジュライ空間の退化に関する長年の問題が解決される。

ABSTRACT

For a stable irreducible curve $X$ and a torsion free sheaf $L$ on $X$ of rank one and degree $d$, D.S. Nagaraj and C.S. Seshadri ([NS]) defined a closed subset $\Cal U_X(r,L)$ in the moduli space of semistable torsion free sheaves of rank $r$ and degree $d$ on $X$. We prove that $\Cal U_X(r,L)$ is irreducible, when a smooth curve $Y$ specializes to $X$ and a line bundle $\Cal L$ on $Y$ specializes to $L$, the specialization of moduli space of semistable rank $r$ vector bundles on $Y$ with fixed determinant $\Cal L$ has underlying set $\Cal U_X(r,L)$. For rank 2 and 3, we show that there is a Cohen-Macaulay closed subscheme in the Gieseker space which represents a suitable moduli functor and has good specialization property.

研究の動機と目的

• 特異的で非可約な曲線に1つのノードを持つSL(r)-バンドルのモジュライ空間を、退化データに依存しない自然な、内在的なものとして定義すること。
• 決定因子が局所自由でない場合に、特異的曲線上のSL(r)-バンドルの良好なモジュライ空間を構成するという未解決問題を解決すること。
• 固定された決定因子を持つベクトルバンドルの退化族のscheme理論的像が、一般化されたギーゼッカー空間内にコHEN＝マカウレイ部分スキームとして現れることを確立すること。
• 滑らかな曲線が特異的になる際の退化において、期待される専用性の性質を満たすこの構成が成立することを証明すること。

提案手法

• 特異的曲線Xに1つのノードを持つ場合の、半安定層のモジュライ空間のコンパクト化として、一般化されたギーゼッカー空間G(r,d)を用いる。
• ベクトルバンドルの準同型の退化的局所として、G(r,d)内の閉部分スキームG(r,L) ⊂ G(r,d)を構成し、固定された決定因子Lを持つ層のモジュライ関手を表す。
• 離散値評価環上の平坦族の理論を用いて、滑らかなファイバーから特異的ファイバーへの、固定された決定因子を持つベクトルバンドルのモジュライ空間の専用性を研究する。
• G(r,L) × J⁰_X → G(r,d) という準同型φを用いて、正規化への引き戻しにより、ファイバー次元を解析し、コドメインの境界を証明する。
• φの像が、引き戻し写像σ: J⁰_X → J⁰_~Xの有限個のファイバーに含まれることを用いて、ファイバー次元を制限し、codimension gを証明する。
• r ≤ 3 または r = 4 かつXの正規化が非超楕円的である条件の下で、G(r,L)がコHEN＝マカウレイ的であり、純粋なcodimension gを持つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的で非可約な曲線に1つのノードを持つ場合に、退化データに依存しない、半安定SL(r)-バンドルのモジュライ空間に自然なスキーム構造を定義できるか？
• RQ2 滑らかな曲線上の固定された決定因子を持つベクトルバンドルのモジュライ空間の専用性は、特異的極限においてwell-definedな部分スキームをもたらすか？
• RQ3 モジュライ空間U_X(r,d)における固定された決定因子Lを持つ層の部分スキームは、自然にコHEN＝マカウレイスキーム構造を備えているか？
• RQ4 どのような条件下で、G(r,d)内の退化的局所G(r,L) ⊂ G(r,d)は、純粋なcodimension gを持ち、良いモジュライ関手を表すか？

主な発見

• 1つのノードを持つ非可約曲線Xと、次数dのラインバンドルLに対して、固定された決定因子Lを持つベクトルバンドルの退化族のscheme理論的像は、G(r,d)内の閉部分スキームG(r,L) ⊂ G(r,d)として存在する。
• r ≤ 3 または r = 4 かつXの正規化が非超楕円的である場合、G(r,L)はG(r,d)内でコHEN＝マカウレイ的であり、純粋なcodimension gを持つ。
• G(r,L)のG(r,d)内でのcodimensionは正確にgであり、これは、退化族のモジュライ空間の族が、基底上において、irreducible、reduced、かつcodimension gのコHEN＝マカウレイ的であることを示唆する。
• 準同型φ: G(r,L) × J⁰_X → G(r,d)のファイバー次元は1以下であり、これがcodimension境界を証明する上で鍵となる。
• G(r,d)からU_X(r,d)への自然な準同型θ: G(r,d) → U_X(r,d) によるG(r,L)の集合論的像は、ちょうどU_X(r,L)に一致するため、G(r,L)はU_X(r,L)に自然なスキーム構造を提供する。
• 条件(r,d) = 1のとき、この構成により、期待される専用性の性質を満たす良好なモジュライ空間が得られ、非可約曲線に1つのノードを持つ場合の予想が解決される。