[論文レビュー] Moduli spaces of weighted pointed stable rational curves via GIT

Young‐Hoon Kiem, Han‐Bom Moon|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、対称的線形化を用いたGIT商 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ から明示的な blown-up の列を経て、$n$-点付き安定有理曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_{0,n}$ を構成する。各中間空間が重み付き点付き安定曲線 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ のモジュライ空間に対応することを証明し、Simpsonの定理（$\bar{M}_{0,n}$ の対数正則モデルに関する）をFultonの予想に依存せずに新たな条件なしの証明を与える。また、これらの空間のピカール群に明示的な基底を与える。

ABSTRACT

We construct the Mumford-Knudsen space of n pointed stable rational curves by a sequence of explicit blow-ups from the GIT quotient (P^1)^n//SL(2) with respect to the symmetric linearization O(1,...,1). The intermediate blown-up spaces turn out to be the moduli spaces of weighted pointed stable curves for suitable ranges of weights. As an application, we provide a new unconditional proof of M. Simpson's Theorem about the log canonical models of the Mumford-Knudsen space. We also give a basis of the Picard group of the moduli spaces of weighted pointed stable curves.

研究の動機と目的

• $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ からの明示的 blown-up の列を用いて、対称的線形化を伴う $\bar{M}_{0,n}$ の幾何的構成を提供すること。
• 各中間 blown-up が、特定の $\epsilon_k$ の範囲に対して重み付き点付き安定曲線 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ のモジュライ空間に対応することを示すこと。
• Fultonの予想に依存せずに、$\bar{M}_{0,n}$ の対数正則モデルに関するM. Simpsonの定理の新たな条件なしの証明を与えること。
• $k$ ごとに $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ のピカール群に明示的な基底を与えること。

提案手法

• 構成は、$(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ から出発する blown-up の列を経て行われる。中心は、安定性が増す重み付き安定曲線の部分集合に対応する。
• blown-up の中心は、同じ次元の滑らかなかい体の直交和であり、blown-up の結果が吹き上げの順序に依存しないことを保証する。
• 著者らは Mustata と Mustata の $k$-安定性条件を用いて中間モジュライ空間 $F_k$ を定義し、$(\bar{P}^1)^n$ の滑らかなかい体に沿った繰り返し blown-up によって構成する。
• $SL(2)$ による $F_k$ のGIT商は、目的のモジュライ空間 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ を与え、線形化は降下により持ち上げられる。
• $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ のピカール群は、blown-up からの引き戻しと例外的除集合を用いて帰納的に計算される。
• Simpsonの定理の証明は、blown-up 構造から直接導かれる主要な除集合の正則性に依存し、Fultonの予想に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 $\bar{M}_{0,n}$ は、対称的線形化を伴うGIT商 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ からの明示的 blown-up の列として構成可能か？
• RQ2 この blown-up の列における中間空間は、適切な $\epsilon_k$ に対してHassettの重み付き点付き安定曲線のモジュライ空間 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ に対応するか？
• RQ3 この構成を用いて、$\bar{M}_{0,n}$ の対数正則モデルに関するSimpsonの定理をFultonの予想に依存せずに条件なしに証明可能か？
• RQ4 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ のピカール群に明示的な基底は存在するか？
• RQ5 blown-up の中心の構造は、重み付き点付き安定曲線の安定性条件とどのように関係するか？

主な発見

• モジュライ空間 $\bar{M}_{0,n}$ は、$(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ からの blown-up の列として実現され、各ステップが $\frac{1}{m+1-k} < \epsilon_k \leq \frac{1}{m-k}$ の範囲にある $\epsilon_k$ に対して $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ のモジュライ空間に対応する。ここで $m = \lfloor n/2 \rfloor$ である。
• $n$ が偶数の場合、最終の blown-up はGIT商の特異点集合に沿って行われ、$\frac{1}{2}\binom{n}{m}$ 個の点からなる。これによりKirwanの部分特異点解消が得られる。
• $\varphi_k: \bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k} \to \bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_{k-1}}$ の収縮写像は、滑らかなかい体の直交和に沿った blown-up であり、各既約成分に沿った滑らかな blown-up に分解される。
• $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ のピカール群は、$\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_{k-1}}$ のピカール群の引き戻しに加え、$|S| = m-k+1$ に対して生成される自由アーベル群 $\mathbb{Z} D_k^S$ と、明示的な基底 $D_k^S$ および $D_k^{\{i,i+1\}}$ または $D_k^{\{1,n-1\}}$ からなる。
• $n$ が奇数の場合、$\mathrm{Pic}(\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}) \cong \bigoplus_{|S|=m-k+1} \mathbb{Z} D_k^S \oplus \bigoplus_{i=1}^{n-1} \mathbb{Z} D_k^{\{i,i+1\}}$ であり、$n$ が偶数の場合、基底には追加の除集合 $D_1^{\{1,n-1\}}$ および $1 \in S$、$|S| = m$ を満たす $D_1^S$ が含まれる。
• 本稿はSimpsonの定理の新たな条件なしの証明を提供する：$\frac{2}{n-1} < \alpha \leq 1$ のとき、$\frac{2}{m-k+2} < \alpha \leq \frac{2}{m-k+1}$ ならば、対数正則モデル $\bar{M}_{0,n}(\alpha)$ は $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ に同型であり、$\alpha \leq \frac{2}{m+1}$ ならば、$(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ に同型である。