[論文レビュー] Moment bounds for the corrector in stochastic homogenization of a percolation model

Agnes Lamacz, Stefan Neukamm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、d > 2 における Z^d 上の退化確率的透過モデルに対して、e1 方向のすべての結合が決定論的に開いている場合の、正則化関数のモーメントの上限を確立する。Glauberダイナミクスにおけるスペクトルギャップ推定と、楕円型グリーン関数の点付き勾配推定を組み合わせることで、すべての有限モーメントが一様に有界であることを証明し、従来の均一楕円型から退化導電率設定への結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We study the corrector equation in stochastic homogenization for a simplified Bernoulli percolation model on $\mathbb{Z}^d$, $d>2$. The model is obtained from the classical $\{0,1\}$-Bernoulli bond percolation by conditioning all bonds parallel to the first coordinate direction to be open. As a main result we prove (in fact for a slightly more general model) that stationary correctors exist and that all finite moments of the corrector are bounded. This extends a previous result in [GO1], where uniformly elliptic conductances are treated, to the degenerate case. With regard to the associated random conductance model, we obtain as a side result that the corrector not only grows sublinearly, but slower than any polynomial rate. Our argument combines a quantification of ergodicity by means of a Spectral Gap on Glauber dynamics with regularity estimates on the gradient of the elliptic Green's function.

研究の動機と目的

• 退化楕円型導電率モデルへの定量的確率的均質化理論の拡張を図ること、特にすべての e1 方向結合が強制的に開いている変更されたベルヌーイ透過モデルを対象とする。
• 均一楕円性が成立しない退化状況においても、定常正則化関数の存在を確立すること。
• 変更された透過測度の下で、正則化関数のすべての有限モーメントが一様に有界であることを証明すること。
• エルゴード性をスペクトルギャップ推定によって定量的に評価する枠組みを構築し、それを退化状況に適用すること。
• 確率的導電率モデルにおける正則化関数の成長率が、どのように振る舞うかを明らかにし、特に部分線形成長よりも速くない、任意の多項式成長より遅い速度であることを示すこと。

提案手法

• すべての第一座標方向の結合が決定論的に開いている、変更された {0,1}-ベルヌーイ結合透過モデルを用い、確実に連結性が保証されるようにする。
• Glauberダイナミクスにおけるスペクトルギャップ推定を用いて、基礎となる確率測度 ⟨·⟩λ のエルゴード性を定量的に評価する。
• 演算子 ∇*a∇ に関連する楕円型グリーン関数の勾配について、点付きで二分法的平均化された推定を確立する。
• 標準的な均一楕円性不等式 λ₀|∇u|² ≤ ∇u·a∇u を、空間的に平均化された逆化学的距離重みを用いた重み付き統合型強制推定に置き換える。
• 離散的ライプニッツ型不等式（補題2および補題12を用いて）を用いて、正則化関数方程式における非線形項を制御し、古典的ライプニッツ法則の失敗を回避する。
• スペクトルギャップ推定とグリーン関数勾配の上限を組み合わせ、正則化関数方程式とエネルギー推定を含む摂動的議論により、正則化関数のモーメント上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導電率がゼロから一様に離れていない退化楕円型状況において、正則化関数のモーメント上限を確立することは可能か？
• RQ2 一方向の結合が決定論的に開いている透過モデルにおいて、均一楕円性が欠如するにもかかわらず、定常正則化関数の存在は維持されるか？
• RQ3 退化状況における正則化関数の成長率は、どのように振る舞うか—部分線形成長を超えて、任意の多項式成長より遅い速度に定量的に評価できるか？
• RQ4 エルゴード性を定量的に評価するためのスペクトルギャップアプローチは、退化導電率を持つモデルに適応可能か？
• RQ5 空間的に平均化された逆化学的距離の役割は、退化状況におけるグリーン関数勾配の制御において、どのように果たすか？

主な発見

• d > 2 および λ ∈ (0,1] に対して、すべての e1 方向結合が開いている変更された透過モデルにおいて、定常正則化関数 φ が存在する。
• 正則化関数のすべての有限モーメントが一様に有界である：任意の p < ∞ に対して、⟨|φ|ᵖ⟩λ^(1/p) ≤ C が成り立ち、C は p、λ、d のみに依存する。
• 正則化関数は部分線形的かつ任意の多項式成長より遅い速度で成長する、すなわち任意の ε > 0 に対して |φ(x)| ≪ |x|^ε がほとんど確実に成り立つ。
• 証明は、退化状況でも成り立つ新しい点付きで二分法的平均化された楕円型グリーン関数勾配推定に依存している。
• Glauberダイナミクスにおけるスペクトルギャップ推定がエルゴード性を定量的に評価し、均一楕円性がなくてもモーメント上限を導出可能であることを可能にする。
• 主な技術的革新は、均一楕円性条件を、近隣の原子間の逆化学的距離の空間平均を含む重み付き統合型強制推定に置き換えることにある。