[論文レビュー] Olshanski spherical functions for infinite dimensional motion groups of fixed rank

Margit Rösler, Michael Voit|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 39被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、無限次元運動群 (G₁, K₁) に関するオルシャンスキーの球関数を、q×q 正定値行列の錐上での関数として分類し、p→∞ の極限において、有限次元対 (Gₚ, Kₚ) の球関数がそれらに局所的に一様に収束することを示す。これらの極限をベッセル型関数として同定し、行列ベッセル関数の正の積分表現を確立する。Dunkl-ベッセル関数の型Aおよび型Bを用いて、カルタンの運動群への結果の拡張を行う。

ABSTRACT

Consider the Gelfand pairs (Gp,Kp) := (Mp,q ⋊ Up,Up) associ- ated with motion groups over the fields F = R,C,H with pq and fixed q as well as the inductive limit p ! 1, the Olshanski spherical pair (G1,K1). We classify all Olshanski spherical functions of (G1,K1) as functions on the coneq of positive semidefinite q × q-matrices and show that they appear as (locally) uniform limits of spherical functions of (Gp,Kp) as p ! 1. The latter are given by Bessel functions onq. Moreover, we determine all posi- tive definite Olshanski spherical functions and discuss related positive integral representations for matrix Bessel functions. We also extend the results to the pairs (Mp,q ⋊ (Up × Uq),(Up × Uq)) which are related to the Cartan motion groups of non-compact Grassmannians. Here Dunkl-Bessel functions of type B (for finite p) and of type A (for p ! 1) appear as spherical functions.

研究の動機と目的

• 固定ランク q の運動群に関連する帰納的極限対 (G₁, K₁) に対する、すべてのオルシャンスキー球関数の分類。
• p→∞ のとき、有限次元ゲルファンド対 (Gₚ, Kₚ) の球関数が (G₁, K₁) の球関数に収束することの確立。
• すべての正定値オルシャンスキー球関数の特徴付けと、行列ベッセル関数に関する関連する正の積分表現の導出。
• 非コンパクトグラスマンニアンのカルタン運動群に対応する対 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq) への枠組みの拡張。
• 有限 p の場合の型B、p→∞ の場合の型A のDunkl-ベッセル関数が、拡張された設定における球関数として同定されること。

提案手法

• p→∞ の帰納的極限構成を用い、有限次元運動群 Mp,q ⋊ Up から無限次元対 (G₁, K₁) に移行する。
• 既知の積分表現を活用して、q×q 正定値行列上のベッセル関数を介して (Gₚ, Kₚ) 上の球関数を分析する。
• コンパクト集合上で一様収束の議論を適用し、(Gₚ, Kₚ) の球関数が (G₁, K₁) の球関数に局所的に一様に収束することを示す。
• ボホルン型の定理を用いて正定値球関数を特徴付け、行列ベッセル関数の正の積分表現を導出する。
• 型Bおよび型AのDunkl理論に適応した球関数枠組みを用いて、対 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq) への分析を拡張する。
• 対称空間上の調和解析および無限次元リー群の表現論に依拠し、球関数の関数的形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元運動群 (G₁, K₁) に対するオルシャンスキー球関数の完全な分類は何か？
• RQ2 有限次元対 (Gₚ, Kₚ) の球関数は、p→∞ のときどのように (G₁, K₁) の球関数に収束するか？
• RQ3 (G₁, K₁) 上のどの球関数が正定値であり、どのような積分表現を有するか？
• RQ4 拡張された設定 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq) において、Dunkl-ベッセル関数の型Bおよび型Aはどのように球関数として現れるか？
• RQ5 正定値 q×q 行列の錐は、(G₁, K₁) の球関数をパrameter化する際に果たす役割は何か？

主な発見

• (G₁, K₁) のすべてのオルシャンスキー球関数は、正定値 q×q 行列の錐によってパラメータ化される。
• p→∞ のとき、(Gₚ, Kₚ) の球関数は (G₁, K₁) の球関数に局所的に一様に収束し、その極限は行列ベッセル関数である。
• (G₁, K₁) 上のすべての正定値球関数は、行列ベッセル関数を含む正の積分表現を有する。
• 拡張された対 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq) において、球関数は有限 p の場合に型BのDunkl-ベッセル関数として与えられる。
• 極限 p→∞ において、拡張された対の球関数は型AのDunkl-ベッセル関数として同定される。
• 結果は、極限過程と積分表現を通じて、有限次元および無限次元球関数理論を統合する。