[論文レビュー] Moment Methods for Exotic Volatility Derivatives

Claudio Albanese, Adel Osseiran|ArXiv.org|Oct 16, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ダイソン展開と演算子代数を用いたモデルに依存しないモーメント法を導入し、バリエンス・ノックアウト、条件付きコーナル・バリエンス・スワップ、ガンマ・スワップを含むレア・ボラティリティ・デリバティブの価格設定を実現する。この手法により、歴史的データへの効率的で準パラメトリックなキャリブレーションが可能となり、少数の条件付きモーメントから分布を外挿することで、正確な価格設定とヘッジが達成される。結果は、複雑な確率的ボラティリティおよびジャンプ・モデルにおいても検証されている。

ABSTRACT

The latest generation of volatility derivatives goes beyond variance and volatility swaps and probes our ability to price realized variance and sojourn times along bridges for the underlying stock price process. In this paper, we give an operator algebraic treatment of this problem based on Dyson expansions and moment methods and discuss applications to exotic volatility derivatives. The methods are quite flexible and allow for a specification of the underlying process which is semi-parametric or even non-parametric, including state-dependent local volatility, jumps, stochastic volatility and regime switching. We find that volatility derivatives are particularly well suited to be treated with moment methods, whereby one extrapolates the distribution of the relevant path functionals on the basis of a few moments. We consider a number of exotics such as variance knockouts, conditional corridor variance swaps, gamma swaps and variance swaptions and give valuation formulas in detail.

研究の動機と目的

• 標準的なバリエンス・スワップを超えるレア・ボラティリティ・デリバティブの価格設定を可能にする柔軟でモデルに依存しないフレームワークの構築。
• ローカル・ボラティリティ、確率的ボラティリティ、ジャンプ、レジーム・スイッチングを含む、基礎資産のダイナミクスの準パラメトリックまたは非パラメトリックな指定を可能にする。
• パス関数の条件付きモーメント（例えば、実現バリエンスなど）を計算するためのモーメント法の適用、複雑なデリバティブの価格設定に寄与する。
• 低精度算術計算下でも数値的安定性と滑らかなヘッジ比を示すという点で、本手法の数値的ロバストネスと実装可能性の確認。
• 従来、公開文献に価格設定手法が存在しなかった、バリエンス・ノックアウトやガンマ・スワップといった新規のレア・デリバティブへのフレームワークの拡張。

提案手法

• マコフ的かつ時不変なフレームワークにおいて、確率過程の積分のモーメント生成関数を導出するため、ダイソン展開を用いる。
• 演算子代数を用いて、確率的ボラティリティ、見通し動態、ジャンプを含む3要因の株式モデル下で、実現バリエンスおよび関連パス関数の条件付きモーメントを計算する。
• 既知のパラメトリック形式（例：対数正規分布）を用い、最初の数個の条件付きモーメントから実現バリエンスの分布全体を外挿するためのモーメントマッチング技術を採用する。
• 複雑なデリバティブ（例：キャップド・スワップや条件付きスワップ）のペイオフ構造と、数値積分（例：ガウス・クアドラチャ）を統合して、モーメントベースの分布を活用する。
• 短期および長期のボラティリティ・スプレッドにリアルisticallyに適合できる、確率的ボラティリティおよびジャンプを含む時不変な準パラメトリック3要因モデルを採用する。
• モーメントベースの分布を用いて、バリエンス・スワップ、コーナル・スワップ、条件付きスワップ、バリエンス・スワプティオン、ガンマ・スワップ、バリエンス・ノックアウトの明示的価格評価式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス依存的なペイオフを持つレア・ボラティリティ・デリバティブを、閉形式解に依存せずに効率的に価格設定する方法は何か？
• RQ2 ダイソン展開に基づくモーメント法は、一般で柔軟なモデル下でも、バリエンス・デリバティブに対して正確かつロバストな価格設定を可能にするか？
• RQ3 本手法は、ジャンプやレジーム・スイッチングを含む、非マルコフ的または非パラメトリックな基礎プロセス仕様に対して、どの程度耐性を示すか？
• RQ4 従来のローカル・ボラティリティ型またはヘストン型モデルと比較して、本手法から得られるヘッジ比は滑らかさと安定性において優れているか？
• RQ5 バリエンス・ノックアウトや条件付きコーナル・バリエンス・スワップといった新規デリバティブの価格設定は、統一的かつモデルに依存しないフレームワークによって実現可能か？

主な発見

• モーメント法により、従来、公開文献に価格設定手法が存在しなかった条件付きコーナル・バリエンス・スワップの正確な価格設定が可能となった。
• バリエンス・ノックアウトは、価格水準ではなく実現バリエンスに依存するため、標準的なバリア・オプションと比較してより滑らかなヘッジ比を示す。
• ガンマ・スワップは、基礎資産がゼロに近づく極限において重み項が消えるため、低スポット価格でのバリエンス・スワップのブロー・アップ問題を回避する。
• 時間不変で準パラメトリックな3要因モデル（確率的ボラティリティおよびジャンプを含む）を用いて、短期および長期のボラティリティターゲットへの高精度キャリブレーションが達成された。
• GPU上で単精度浮動小数点演算で計算しても、数値的結果は安定的かつ滑らかであり、ロバストネスと計算効率を示している。
• 本フレームワークは、フォワード・スターティング・バリエンス・スワプティオンや条件付きバリエンス・ノックアウトといった新規デリバティブへの容易な拡張を可能にする。