[論文レビュー] Moments and Absolute Moments of the Normal Distribution

Andreas Winkelbauer|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 1被引用数 125

ひとこと要約

本稿は、実数値の $ u > -1 $ に対して、正規分布の原点モーメント、中心モーメント、絶対モーメントについて包括的な公式を提供する。これらは放物型円柱関数および発散超幾何関数を用いて導出され、既知の結果を一般化し、標準教科書に欠落している部分を埋める閉形式の表現を提供する。

ABSTRACT

We present formulas for the (raw and central) moments and absolute moments of the normal distribution. We note that these results are not new, yet many textbooks miss out on at least some of them. Hence, we believe that it is worthwhile to collect these formulas and their derivations in these notes.

研究の動機と目的

• 正規分布の原点モーメント、中心モーメント、絶対モーメント、および中心絶対モーメントについて、体系的に導出・整理する。
• 多くの標準教科書で非整数 $\nuf$ の場合にこれらの公式が欠落していることに対処する。
• 放物型円柱関数や発散超幾何関数などの特殊関数を用いて統一的な表現を提示する。
• 積分恒等式および特殊関数の性質に基づく導出を提供し、数学的厳密性を確保する。
• 整数階のモーメントを超えて、実数 $\nuf > -1$ まで既知の結果を拡張し、理論的および応用的有用性を高める。

提案手法

• 原点モーメントを特性関数および $ D_{\nu}(z) $（放物型円柱関数）を含む積分恒等式を用いて導出する。
• Kummerの発散超幾何関数 $ \Phi(\alpha,\gamma;z) $ およびTricomiの関数 $ \Psi(\alpha,\gamma;z) $ を用いてモーメントを表現する。
• キーツールとして、$ \int_{-\infty}^{\infty}(-jx)^\nu e^{-x^2 + jx\gamma}dx = \sqrt{2^{-\nu}\pi}e^{-\gamma^2/8}D_\nu(\gamma/\sqrt{2}) $ という積分恒等式を適用する。
• $ \Phi(\alpha,\gamma;z) = e^z\Phi(\gamma-\alpha,\gamma;-z) $ の変換を用いて、$ \exp(-\mu^2/(2\sigma^2)) $ を含む式を簡略化する。
• 反射公式 $ \Gamma(\frac{1+\nu}{2})\Gamma(\frac{1-\nu}{2}) = \frac{\pi}{\cos(\pi\nu/2)} $ を用いて、放物型円柱関数と三角関数的表現との関係を確立する。
• 中心絶対モーメントを、原点絶対モーメントの公式において $ \mu=0 $ とすることで導出する。この際、$ \Phi(\alpha,\gamma;0) = 1 $ を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数 $ \nu > -1 $ に対して、正規確率変数の $ \nu $ 階原点モーメントおよび中心モーメントの閉形式表現は何か？
• RQ2 絶対モーメント $ \mathrm{E}[|X|^\nu] $ および $ \mathrm{E}[|X-\mu|^\nu] $ は、特殊関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 放物型円柱関数と発散超幾何関数との間の関係は、これらのモーメントの表現においてどのように機能するか？
• RQ4 導出された公式は、整数の場合（例：偶数 $ \nu $ に対して $ (\nu-1)!! $）に既知の結果にどのように還元されるか？
• RQ5 特殊関数の恒等式を用いて、パrameterの範囲（例：$ \mu \leq 0 $ と $ \mu > 0 $）にかかわらず統一的な表現が可能か？

主な発見

• 正規分布に従う $ X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) $ の $ \nu $ 階原点モーメントは、$ \mathrm{E}[X^\nu] = (j\sigma)^\nu \exp(-\mu^2/(4\sigma^2)) D_\nu(-j\mu/\sigma) $ で与えられ、$ \nu > -1 $ に対して有効である。
• 中心モーメントについては、$ \mathrm{E}[(X-\mu)^\nu] = \sigma\nu 2^{\nu/2 - 1} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}} (1 + (-1)^\nu) $ であり、奇数 $ \nu $ の場合に 0 となり、偶数 $ \nu $ の場合に $ (\nu-1)!!\sigma^\nu $ となる。
• 原点絶対モーメントは、$ \mathrm{E}[|X|^\nu] = \sigma^\nu 2^{\nu/2} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}} \Phi(-\nu/2, 1/2; -\mu^2/(2\sigma^2)) $ で与えられる。
• 中心絶対モーメントは、$ \mathrm{E}[|X-\mu|^\nu] = \sigma^\nu 2^{\nu/2} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}} $ に簡略化され、$ \mu $ に依存しない。
• $ \nu $ が非負整数の場合、公式は標準的な結果に還元される：偶数階中心モーメントは $ \sigma^\nu (\nu-1)!! $、奇数階は 0 となる。
• $ \Psi $ および $ \Phi $ 関数の使用により、$ \mu $ の符号に応じた分岐表現が可能となり、$ \mu > 0 $ の場合に $ \Psi^* $ を用いる。