[論文レビュー] Moments and Non-vanishing of central values of Quadratic Hecke $L$-functions in the Gaussian Field

Peng Gao|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ガウス整数環上の二次ヘッケL関数の中心値の最初の3つのモーメントを、累乗で抑えた誤差項を伴って評価し、$ O(X^{1/2+\theta}) $ の誤差項を達成している。モリフィードモーメントとコーシー＝シュワルツ解析を用いて、この族に属するL関数の少なくとも87.5％が中心値で非ゼロであることを確立し、古典的結果を誤差推定値の向上とともに数体へと拡張している。

ABSTRACT

We evaluate the first three moments of central values of a family of qudratic Hecke $L$-functions in the Gaussian field with power saving error terms. In particular, we obtain asymptotic formulas for the first two moments with error terms of size $O(X^{1/2+\varepsilon})$. We also study the first and second mollified moments of the same family of $L$-functions to show that at least $87.5\%$ of the members of this family have non-vanishing central values.

研究の動機と目的

• ディリクレL関数に関する古典的結果を、ガウス整数環上の二次ヘッケL関数へと拡張すること。
• 誤差項が $ O(X^{1/2+\theta}) $ のサイズである、ガウス整数環上での二次ヘッケL関数の中心値の最初の3つのモーメントの漸近公式を導出すること。
• モリフィードモーメント法を用いて、サウンドララジャンの古典的ケースに類似した、非ゼロ中心L値を持つL関数の正の密度を確立すること。
• 解析的数論の技術、特に再帰的誤差低減法とポアソン和公式を、虚二次体の文脈に適応すること。
• ガウス整数環における奇数かつ平方因子を持たない $ d $ を用いたヘッケキャラクター $ \chi_{(1+i)^5 d} $ を用いて、滑らかにしたモーメントの明示的漸近主項と誤差推定値を提供すること。

提案手法

• コンパクトに台を持つ滑らかな関数 $ \Phi $ を用いた滑らかにしたモーメントにより、$ N(d) \sim X $ を満たす $ d $ に関する和を制御する。
• 再帰的技法を用いて、初期の大きな誤差項を、最初の2つのモーメントでは $ O(X^{1/2 + \varepsilon}) $、3番目のモーメントでは $ O(X^{3/4 + \varepsilon}) $ に低減する。
• ヘッケキャラクターの性質から導かれる係数 $ \mu_{[i]}(d) $ を用いたモリフィードモーメント法を採用し、非ゼロ中心値を取るL関数の割合を評価する。
• 誤差成長を制御するため、$ \lambda(a\alpha)/h(a) $、$ d_{[i]}(a)/\sigma_{[i]}(a) $、および対数の累乗を含む補助的項の複雑な解析を行う。
• ヘッケL関数の関数等式と近似関数等式を用いて、$ L(1/2, \chi) $ をイデアルとキャラクターに関する和に表現する。
• 部分和公式と対数項の漸近展開を適用し、主項を $ \log X $ の多項式として表現し、その係数は $ \Phi $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス整数環上での二次ヘッケL関数の中心値の最初の3つのモーメントの漸近公式は何か？
• RQ2 これらのモーメント公式における誤差項は、古典的結果で知られている最良の境界 $ O(X^{1/2 + \varepsilon}) $ まで改善可能か？
• RQ3 この族に属する二次ヘッケL関数のうち、中心値が非ゼロであるものの割合はどの程度か？
• RQ4 モリフィードモーメント技法は数体へと適応可能か？ そして、非ゼロ中心L値を持つL関数の正の密度を示すために利用可能か？
• RQ5 モーメントの主項は、滑らかにした重み関数 $ \Phi $ およびガウス整数の算術的構造にどのように依存するか？

主な発見

• 中心値 $ L(1/2, \chi_{(1+i)^5 d}) $ の最初の2つのモーメントは、誤差項が $ O(X^{1/2 + \varepsilon}) $ の漸近公式を満たし、古典的境界と一致する。
• 3番目のモーメントは誤差項が $ O(X^{3/4 + \varepsilon}) $ の漸近公式を満たし、古典的状況におけるGRH下での既知の結果と整合的である。
• この族に属するL関数の少なくとも87.5％が中心値で非ゼロであることが、2番目のモリフィードモーメントとコーシー＝シュワルツ不等式を用いて確立された。
• 1番目のモーメントの主項は $ \log X $ の1次多項式であり、2番目と3番目のモーメントの主項はそれぞれ3次および6次多項式であり、モーメント予想が示唆する成長と一致する。
• 2番目のモリフィードモーメントの漸近主項は、$ \sim \left(\frac{\pi}{4}\right)^4 \left( \frac{4}{81} + \frac{8}{27\theta} + \cdots \right) \frac{2\pi \widehat{\Phi}(1)}{3\zeta_K(2)} X $ であり、$ \theta = 1 $ である。
• $ X \leq N(d) \leq 2X $ の範囲におけるモリフィアの係数の二乗和は、漸近的に $ \sim \frac{2\pi}{3\zeta_K(2)} X $ に収束し、非ゼロ密度に関する議論で用いられた正規化が正当化された。