[論文レビュー] Monadic Second Order Logic with Measure and Category Quantifiers

Matteo Mio, Michał Skrzypczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限の文字列および木構造において、モノディック第二階述語論理（MSO）の拡張を、バーレ・カテゴリー（forall^*）およびルベーグ測度（forall^{=1}）によって解釈される「ほとんどすべての」部分集合を表す第二階量化子を用いて調査する。MSOにカテゴリー量化子を追加した論理（S1S + forall^*）は決定可能である（S1S + forall^* = S1S）が、測度量化子を追加した論理（S1S + forall^{=1}）は決定不能である。また、確率的オートマトンやS2Sにおける定義可能性との関連が示されている。

ABSTRACT

We investigate the extension of Monadic Second Order logic, interpreted over infinite words and trees, with generalized "for almost all" quantifiers interpreted using the notions of Baire category and Lebesgue measure.

研究の動機と目的

• モノディック第二階述語論理（MSO）を、バーレ・カテゴリーおよびルベーグ測度によって解釈される「ほとんどすべての」部分集合を表す第二階量化子で拡張した場合の表現力および論理的性質を研究すること。
• 得られた論理が構造 (N,<) および完全な2分木の上で決定可能かどうかを特定すること。
• MSOに測度／カテゴリー量化子を追加した論理と、特に確率的木オートマトンを含むオートマトン理論的解釈との関係を明確にすること。
• これらの量化子を用いたS2Sの拡張における定義可能性および複雑性に関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• 論文は、カントール空間 2^ω 上での量化子の振る舞いを分析するために、オートマトン理論的手法およびゲーム理論的推論（特にバナッハ＝マズールゲーム）を用いる。
• 確率的オートマトン理論の結果を応用して、S1S + forall^{=1} の不決定性を証明し、ボジャンツキの不決定的論理 S1S + U との関係を活用する。
• カテゴリー量化子に関しては、S1S + forall^* に対して有効な量化子除去手続きを提供し、通常のS1Sと同値であることを示す。
• π がパスを走査する範囲で定義される新しい論理 S2S + forall^{=1}_π を導入し、オートマトンに基づく解釈により、S2S + U^{=1} と同等であることを証明する。
• 確率的木オートマトンによる言語の定義可能性を分析し、S2S + forall^{=1}_π で定義可能な言語と比較する。
• 確率的オートマトンの限界を特定し、S2S + forall^{=1}_π が非正則言語を定義できることを示し、それらがこのようなオートマトンでは捉えられないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 先行研究における誤った証明があるにもかかわらず、S2S + forall^* の理論は決定可能か？
• RQ2 S2S + forall^{=1}_π は、射影階層の Δ¹₂ クラスにのみ集合を定義するか？
• RQ3 S2S + forall^{=1}_π で定義可能なすべての言語は、確率的木オートマトンによって捉えられるか？
• RQ4 S2S + forall^{=1} の理論は決定可能か？
• RQ5 S2S-定義可能な集合の測度を計算するアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 論理 S1S + forall^* は決定可能であり、S1S と同等である。量化子 forall^* は有効に除去可能である。
• 論理 S1S + forall^{=1} は不決定的であり、ボジャンツキの不決定的論理 S1S + U の解釈により証明された。
• 理論 S2S + forall^{=1} は不決定的である。S1S から S2S への翻訳により、S1S + forall^{=1} を解釈するからである。
• 論理 S2S + forall^{=1}_π は S2S + U^{=1} と同等である。これにより、パスベースの測度量化子と非有界量化子との間の関係が確立された。
• 確率的木オートマトンでは捉えられない S2S + forall^{=1}_π で定義可能な言語が存在する。これは表現力の明確な増加を示している。
• S2S + forall^{=1}_π で定義可能な集合のクラスは、一般に Δ¹₂ クラスに含まれるとは限らないが、既知のすべての例はその中に含まれる。