[論文レビュー] Monadic Second-Order Logic with Path-Measure Quantifier is Undecidable

Raphaël Berthon, Emmanuel Filiot+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

semigroups and automata theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限の2分木上で、パス測度に関する量化子（Lebesgue測度1のパス集合において性質が成り立つことを表す）をモノイダル第二階述語論理に拡張した論理 MSO+∀¹_path が決定不能であることを証明する。証明では、質的普遍パリティ木オートマトンの空性問題の決定不能性を、確率的オートマトンの技法を用いた新しい符号化により、論理に還元している。

ABSTRACT

We prove that the theory of Monadic Second-Order logic (MSO) of the infinite binary tree extended with qualitative path-measure quantifier is undecidable. This quantifier says that the set of infinite paths in the tree that satisfies some formula has Lebesgue-measure one. To do this we prove that the emptiness problem of qualitative universal parity tree automata is undecidable. Qualitative means that a run of a tree automaton is accepting if the set of paths in the run that satisfy the acceptance condition has Lebesgue-measure one.

研究の動機と目的

• 無限の2分木上で、パス測度量化子を拡張したモノイダル第二階述語論理 MSO+∀¹_path の決定不能性を確立すること。
• 先行研究によって未解決のまま残っていた、MSO+∀¹_path の決定可能性に関する形式論理分野のオープンな問題を解決すること。
• 質的普遍パリティ木オートマトンの空性問題が決定不能であることを示し、これが中心的な技術的貢献となること。
• 従来の独立した証明とは異なる、確率的オートマトンに基づく新しい証明技法を提供すること。
• MSO+∀¹_path が標準的な MSO よりも厳密に表現力が強く、かつ決定不能であることを示し、決定可能性に関する重要な問いを閉じること。

提案手法

• パリティ木オートマトンの質的普遍言語を捉える MSO+∀¹_path の論理式を構築する。
• パス測度量化子 ∀¹_path を用いて、ほとんどすべてのパスで受理されるランの条件を符号化する。この量化子は、測度1のパス集合において性質が成り立つことを保証する。
• 質的普遍パリティ木オートマトンの空性問題を、MSO+∀¹_path における充足可能性問題への還元を用いる。
• 測度論的受理条件を論理的に扱うために、確率的オートマトンの技法を活用し、シミュレーションと推論を行う。
• 木オートマトンのランと論理式の間に対応関係を確立し、受理条件をパス上の MSO 論理式で表現する。
• MSO+∀¹_path の文が妥当であることと、対応するオートマトンの質的普遍言語が空であることとは同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル第二階述語論理にパス測度量化子を拡張した場合、無限の2分木上で決定可能か？
• RQ2 標準的な MSO と比較して、MSO+∀¹_path の表現力と決定可能性状態は何か？
• RQ3 質的普遍パリティ木オートマトンの空性問題を、論理的決定問題に還元できるか？
• RQ4 確率的オートマトンの技法を用いることで、形式論理における決定不能性結果の証明に新たな手法を提供できるか？
• RQ5 MSO と MSO+∀¹_path の間には表現力の厳密な増加があるか？ もしそうなら、その増加は決定不能性を伴うか？

主な発見

• 無限の2分木における MSO+∀¹_path 理論は決定不能であり、形式論理分野における未解決問題を解決した。
• 質的普遍パリティ木オートマトンの空性問題が決定不能であることは、中心的な技術的結果である。
• Lebesgue測度1のパス集合において性質が成り立つことを示すパス測度量化子 ∀¹_path でさえ、直観的な「ほぼ確実に成り立つ」という意味にもかかわらず決定不能性を引き起こす。
• 確率的オートマトンに基づく証明技法は、従来の同様の結果の証明とは独立した別個のアプローチを提供する。
• MSO+∀¹_path は、測度1のパス集合に関する性質を表現できるため、標準的な MSO よりも厳密に表現力が強い。
• 量化子がパスを形成する集合に制限されても、決定不能性は成立するため、決定不能性の堅牢性が示された。