[論文レビュー] Mono-atomic disintegration and Lyapunov exponents for derived from Anosov diffeomorphisms

Gabriel Ponce, Régis Varão+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元トーラス上の保存的由来Anosov（DA）微分同相写像における中心foliationに沿ったLebesgue測度および最大エントロピー測度の分解の構造を調査する。可微分分割と測度の分解理論を用いて、可微分分割の条件を満たす場合、特に可アクセス性と体積保存性の仮定のもとで、分解が原子的であるとき、それは必ず単原子的—つまり、各中心葉に対して正確に1つの原子—であることを証明する。主な貢献は、このクラスの系における原子的分解の構造的一意性を確立したことであり、Lyapunov指数とGibbs測度への影響を示唆する。

ABSTRACT

In this paper we mainly address the problem of disintegration of Lebesgue measure and measure of maximal entropy along the central foliation of (conservative) Derived from Anosov (DA) diffeomorphisms. We prove that for accessible DA diffeomorphisms of $\mathbb{T}^3$, atomic disintegration has the peculiarity of being mono-atomic (one atom per leaf). We further provide open and non-empty condition for the existence of atomic disintegration. Finally, we prove some new relations between Lyapunov exponents of DA diffeomorphisms and their linearization.

研究の動機と目的

• 3次元トーラス上の保存的由来Anosov（DA）微分同相写像における中心foliationに沿ったLebesgue測度の分解の幾何的構造を理解すること。
• 可アクセス性および体積保存性の仮定のもとで、このような系における原子的分解が1葉あたり複数の原子を持つことができるかどうかを特定すること。
• 最大エントロピー測度が原子的分解を示す条件を確立し、その構造を特徴づけること。
• 最大エントロピー測度のLyapunov指数とDA微分同相写像の線形化との関係を調査すること。
• 最大エントロピー測度がu-Gibbsかどうかを検討し、それが分解のタイプやLyapunov指数の比較とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• 中心葉上の条件付き測度を分析するために、可測分割と分解理論を用いる。
• Pesin理論とLedrappier-Youngのエントロピー公式を適用し、測度的エントロピーとLyapunov指数を関連付ける。
• 安定および不安定foliationの絶対連続性を用いて、分解に複数の原子が存在すると仮定した場合の矛盾を導出する。
• 可アクセス性を活用して、系のエルゴディシティと最大エントロピー測度の一意性を保証する。
• 最大エントロピー測度を共役写像で押し上げることで、線形Anosovモデルから非線形DA系への性質の移行を実現する。
• 正のLyapunov指数と不安定多様体上の条件付き測度を含むエントロピー公式を用いて、u-Gibbs測度の基準を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保存的DA微分同相写像の3次元トーラス上でのLebesgue測度が中心foliationに沿って原子的分解を示す条件は何か？
• RQ2 このような系における原子的分解が、1葉あたり複数の原子を持つことができるか、それとも必然的に単原子的であるか？
• RQ3 最大エントロピー測度のLyapunov指数は、DA微分同相写像の線形化のそれとどのように比較されるか？
• RQ4 中心Lyapunov指数が線形化のそれより小さい場合、最大エントロピー測度はu-Gibbsであるか？
• RQ5 最大エントロピー測度の分解が原子的である場合、その正確な構造は何か？

主な発見

• 可アクセス性と体積保存性を満たす3次元トーラス上のDA微分同相写像において、Lebesgue測度が中心foliationに沿って原子的分解を示すならば、それは必然的に単原子的—つまり、各中心葉に対して正確に1つの原子—である。
• 本稿は、Ponce-Tahzibiの構成に基づく、開かつ非空な条件（原子的分解が成立する条件）を提示する。
• 与えられた仮定のもとで、最大エントロピー測度の中心Lyapunov指数が線形化のそれより小さい場合、その測度はu-Gibbsにはなり得ない。
• 最大エントロピー測度の分解が原子的である場合、それもまた単原子的—つまり、各中心葉に対して正確に1つの原子—である。
• 最大エントロピー測度の中心Lyapunov指数は $\lambda^{c}_{\mu_f} \geq \lambda^{c}_A$ を満たし、等号が成り立つのはu-Gibbsである場合に限るが、与えられた仮定のもとではこれが除外される。
• 証明は絶対連続性を用いた背理法に依拠する：複数の原子が存在すると仮定すると、中心指数が $\lambda^{c}_A$ を超える正のLebesgue測度の集合が得られ、仮定 $\lambda^{c}_f < \lambda^{c}_A$ に矛盾する。