[論文レビュー] Monoidal categories enriched in braided monoidal categories

Scott Morrison, David Penneys|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、バーニングモノイダル圏に豊かにされたモノイダル圏を導入し、古典的な等価化の一般化を図る。rigid V-モノイダル圏とその単位関手が右随伴を持つものと、rigidモノイダル圏 T のドリンフェルト中心へのバーニング弱モノイダル関手 FZ: V → Z(T) の間で一対一対応を確立し、強関手以外の非完全な豊かさが存在することを示す。

ABSTRACT

We introduce the notion of a monoidal category enriched in a braided monoidal category $\mathcal V$. We set up the basic theory, and prove a classification result in terms of braided oplax monoidal functors to the Drinfeld center of some monoidal category $\mathcal T$. Even the basic theory is interesting; it shares many characteristics with the theory of monoidal categories enriched in a symmetric monoidal category, but lacks some features. Of particular note, there is no cartesian product of braided-enriched categories, and the natural transformations do not form a 2-category, but rather satisfy a braided interchange relation. Strikingly, our classification is slightly more general than what one might have anticipated in terms of strong monoidal functors $\mathcal V o Z(\mathcal T)$. We would like to understand this further; in a future paper we show that the functor is strong if and only if the enriched category is `complete' in a certain sense. Nevertheless it remains to understand what non-complete enriched categories may look like. One should think of our construction as a generalization of de-equivariantization, which takes a strong monoidal functor $\mathsf{Rep}(G) o Z(\mathcal T)$ for some finite group $G$ and a monoidal category $\mathcal T$, and produces a new monoidal category $\mathcal T // G$. In our setting, given any braided oplax monoidal functor $\mathcal V o Z(\mathcal T)$, for any braided $\mathcal V$, we produce $\mathcal T // \mathcal V$: this is not usually an `honest' monoidal category, but is instead $\mathcal V$-enriched. If $\mathcal V$ has a braided lax monoidal functor to $\mathsf{Vec}$, we can use this to reduce the enrichment to $\mathsf{Vec}$, and this recovers de-equivariantization as a special case.

研究の動機と目的

• バーニングモノイダル圏に豊かにされたモノイダル圏の理論を形式化し、対称的または可換モノイダル圏への古典的豊かさを拡張する。
• バーニング豊かさにおいてはカルテシアン積と2-圏的構造が欠如していることに対処し、代わりにバーニング交換関係が満たされることを示す。
• 強関手に限らない、任意のバーニング弱モノイダル関手 V → Z(T) に対して T//V を構成することで、等価化の一般化を達成する。
• 豊かさにおける完全性の役割を明確にし、強関手が完全な豊かさに対応することを示す。
• ドリンフェルト中心の構成を用いて V-モノイダル圏の分類枠組みを提供し、テンソル圏やトポロジカル量子場理論における新しい構成を可能にする。

提案手法

• ストリングダイアグラムを用いて、合成とテンソル積がバーニング交換関係を満たす厳密な V-モノイダル圏の概念を導入する。
• V-モノイダル関手を定義し、豊かさの圏 V 内の交換関係と結合則を別個に条件化することで、自然性を確立する。
• rigidモノイダル圏 T のドリンフェルト中心 Z(T) を、バーニング弱モノイダル関手 FZ: V → Z(T) の像として用いる。F = FZ ◦ R が右随伴を持つことを仮定する。
• ドリンフェルト中心における随伴とメイトを用いて、合成写像のメイトを導出し、フロベニウスの再帰性とジグザグ関係を用いる。
• 定理1.1における対応が一対一であることを示すために、逆の構成を構築する：V-モノイダル圏 C から、V(1 → C(a→b)) を用いて CV を抽出し、関手 FZ から普遍性を用いて C を構成する。
• ストリングダイアグラム計算と整合性定理を用いて、バーニング交換関係と自然性の条件を検証し、豊かさ付きモノイダル構造の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル圏は、可換圏ではなくバーニングモノイダル圏にどのように自然に豊かにできるか。また、どのような構造的特徴が現れるか？
• RQ2 V がバーニング的ではあるが可換的でない場合、ドリンフェルト中心が V-モノイダル圏を分類する際に果たす正確な役割は何か？
• RQ3 V-モノイダル圏における自然変換の構造が、通常の2-圏的交換関係ではなくバーニング交換関係を満たすのはなぜか？
• RQ4 V-豊かさ付き圏における完全性の意義は何か。また、FZ: V → Z(T) の強さとはどのように関係するか？
• RQ5 等価化は強関手に限らず一般化可能か。弱関手からどのような新しい種類のモノイダル圏が生じるか？

主な発見

• rigid V-モノイダル圏とその単位関手が右随伴を持つものと、rigidモノイダル圏 T のドリンフェルト中心へのバーニング弱モノイダル関手 FZ: V → Z(T) の間で一対一対応が確立された。F = FZ ◦ R は右随伴を持つ。
• この分類は強関手よりも厳密に一般化されている：非完全な豊かさが存在し、それらは強関手でない弱関手に正確に対応する。
• V-モノイダル圏における自然変換は、豊かさの圏に非可換なバーニングが存在するため、通常の2-圏的交換関係ではなくバーニング交換関係を満たす。
• この構成は等価化を一般化する：任意のバーニング弱モノイダル関手 FZ: V → Z(T) に対して、V-モノイダル圏 T//V を得る。V → Vec が弱関手である場合、これは等価化に還元される。
• ドリンフェルト中心における合成写像のメイトは、(jaηv) ◦ (−⊗C −) として明示的に計算可能であり、随伴と交換関係を用いて導出される。
• この理論により、V-モノイダル圏の圏はカルテシアン積を備えておらず、バーニング的豊かさのため2-圏的構造を持たないことが明らかになった。