[論文レビュー] Relative symmetric monoidal closed categories I: Autoenrichment and change of base

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、対称的モノイド閉圏における自己豊密化の2ファンクター的枠組みを確立し、各圏 $\upsilon$ に対してその $\upsilon$-豊密化版 $\underline{\upsilon}$ を割り当てる写像が、反2ファイブレーションを持つ2圏への2ファンクターに拡張されることを示している。主な結果は、対称的モノイド閉随伴が、この2ファンクター的移行を通じて $\upsilon$-豊密化随伴を誘導することであり、随伴が $\upsilon$-自然的かつ $\upsilon$-ファンクター的になるように保証され、従って古典的随伴が豊密化2圏的構造に埋め込まれることを示している。

ABSTRACT

Symmetric monoidal closed categories may be related to one another not only by the functors between them but also by enrichment of one in another, and it was known to G. M. Kelly in the 1960s that there is a very close connection between these phenomena. In this first part of a two-part series on this subject, we show that the assignment to each symmetric monoidal closed category $V$ its associated $V$-enriched category $\underline{V}$ extends to a 2-functor valued in an op-2-fibred 2-category of symmetric monoidal closed categories enriched over various bases. For a fixed $V$, we show that this induces a 2-functorial passage from symmetric monoidal closed categories $ extit{over}$ $V$ (i.e., equipped with a morphism to $V$) to symmetric monoidal closed $V$-categories over $\underline{V}$. As a consequence, we find that the enriched adjunction determined a symmetric monoidal closed adjunction can be obtained by applying a 2-functor and, consequently, is an adjunction in the 2-category of symmetric monoidal closed $V$-categories.

研究の動機と目的

• 対称的モノイド閉圏における自己豊密化の2圏的構造を形式化し、古典的な豊密化の概念を2ファンクター的設定に拡張すること。
• ベース $\upsilon$ に関する対称的モノイド閉圏から、対称的モノイド閉 $\upsilon$-圏への2ファンクター的移行を確立すること。
• ベース $\upsilon$ に関する対称的モノイド閉随伴が、自己豊密化2ファンクターを通じて自然に $\upsilon$-豊密化随伴を誘導することを示すこと。
• 相対的豊密化のための2圏的基盤を提供し、グロテンディークの相対的視点を豊密化圏論へ一般化すること。
• G. M. ケリーが以前未発表の形で得た、ベースの圏に豊密化された圏と、そのベースへの射を備えた圏との同値性に関する結果を回復し、形式化すること。

提案手法

• 本稿は、対称的モノイド閉圏の2圏から、さまざまなベースに関して豊密化された圏を含む反2ファイブレーションを持つ2圏への2ファンクターを構成する。
• 自動豊密化構成 $\mathscr{V} \mapsto \underline{\mathscr{V}}$ を用い、ここで $\mathscr{V}$ は内部ホムとモノイド構造を用いて自分自身に豊密化される。
• ファンクター、自然変換、および随伴が、豊密化射および豊密化2セルに持ち上がるという点で、2ファンクターの性質を示す。
• ケリー（1972）の教義的随伴を適用し、豊密化随伴が、元の随伴とベース圏 $\mathscr{V}$ によって一意に決定されることを示す。
• モノイド関手のマイト（mate）が反モノイド的であることを示し、$\upsilon$-豊密化圏間の随伴が豊密化と整合的であることを保証する。
• 比較同型 $K^G: \mathscr{M} \to (G_*\underline{\mathscr{M}})_0$ を用いて、豊密化圏の元の圏が元の圏と同一視され、豊密化の整合性が保たれることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的モノイド閉圏 $\mathscr{V}$ の自己豊密化をどのように2ファンクターとして形式化できるか？
• RQ2 ベース $\mathscr{V}$ に射を持つ対称的モノイド閉圏と、対称的モノイド閉 $\mathscr{V}$-圏との間の2圏的関係は何か？
• RQ3 ベース $\mathscr{V}$ に関する対称的モノイド閉随伴 $F \dashv G$ が、自己豊密化2ファンクターを通じて、どのように $\mathscr{V}$-豊密化随伴を誘導するか？
• RQ4 豊密化随伴構造が、元の随伴とベース圏 $\mathscr{V}$ によってどのように完全に決定されるか？
• RQ5 古典的な結果、すなわち $\mathscr{V}$-豊密化圏が $\mathscr{V}$ への関手から生じることを、2圏的枠組みで回復し、一般化できるか？

主な発見

• 写像 $\mathscr{V} \mapsto \underline{\mathscr{V}}$ は、対称的モノイド閉圏の2圏から、豊密化された圏を含む反2ファイブレーションを持つ2圏への2ファンクターに拡張される。
• 任意の対称的モノイド閉圏 $\mathscr{M}$ が射 $G: \mathscr{M} \to \mathscr{V}$ を備えるとき、$\mathscr{M}$ は自然に対称的モノイド閉 $\mathscr{V}$-圏としての構造を備える。
• 対称的モノイド閉随伴 $F \dashv G$ は、対称的モノイド閉 $\mathscr{V}$-圏の2圏における $\mathscr{V}$-豊密化随伴 $\acute{F}_0 \dashv \grave{G}_0$ を誘導する。
• $\mathscr{V}$-豊密化随伴は、教義的随伴の理論を通じて、元の随伴とベース圏 $\mathscr{V}$ によって一意に決定される。
• 比較同型 $K^G: \mathscr{M} \to (G_*\underline{\mathscr{M}})_0$ により、豊密化圏の元の圏が $\mathscr{M}$ と同一視され、豊密化の整合性が保たれる。
• この結果は、代数的幾何における古典的例（例えば、スキーム上の層圏や導来圏における $g^* \dashv g_*$）を一般化し、それらが自然に $\mathscr{V}$-豊密化随伴であることが示されている。