[論文レビュー] Monotone Lagrangian submanifolds of $\mathbb{C}^n$ and toric topology

Vardan Oganesyan|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}^n$ 内の単調ラグランジュ部分多様体とファノ・デルツァント多面体の間の正確な対応関係を確立し、関連するラグランジュ部分多様体が単調であるための必要十分条件が多面体がファノであることであることを証明している。本稿では、$S^k \times S^l$ や球面積の連結和のようなファイバーを持つトーラス上のファイバー束を用いて、新たな単調ラグランジュ部分多様体の族を構成し、それらの最小マスロフ数を計算するとともに、滑らかな同倫型が一致する場合でも、ラグランジュ同倫型が異なる例を示している。

ABSTRACT

Mironov, Panov and Kotelskiy studied Hamiltonian-minimal Lagrangians inside $\mathbb{C}^n$. They associated a closed embedded Lagrangian $L$ to each Delzant polytope $P$. In this paper we develop their ideas and prove that $L$ is monotone if and only if the polytope $P$ is Fano. In some examples, we further compute the minimal Maslov numbers. Namely, let $\mathcal{N} o T^k$ be some fibration over the $k$-dimensional torus with a fiber equal to either $S^k imes S^l$, or $S^k imes S^l imes S^m$, or $\#_5(S^{2p-1} imes S^{n-2p-2})$. We construct monotone Lagrangian embeddings $\mathcal{N} \subset \mathbb{C}^n$ with different minimal Maslov number, and therefore distinct up to Lagrangian isotopy. Moreover, we show that some of our embeddings are smoothly isotopic but not Lagrangian isotopic.

研究の動機と目的

• デルツァント多面体 $P \subset \mathbb{C}^n$ に対応するラグランジュ部分多様体が単調であるための正確な条件を同定すること。
• 実モーメント・アングル多様体とトーリックトポロジーを用いて、新たな単調ラグランジュ埋め込みの例を構成すること。
• これらのラグランジュ部分多様体の最小マスロフ数を計算し、それらを用いてラグランジュ同倫型を区別すること。
• 単調ラグランジュ部分多様体の文脈において、滑らかな同倫とラグランジュ同倫の違いを調査すること。
• $\mathbb{C}^n$ 内で滑らかに同倫的でもラグランジュ同倫的ではない埋め込みの存在を示すこと。

提案手法

• $\mathbb{C}^n$ 内の二次曲面の交わりを用いたデルツァント多面体からハミルトニアン・ミニマルラグランジュ部分多様体を構成する。
• 多面体に付随する実モーメント・アングル多様体の位相を記述するためにトーリックトポロジーの技法を適用する。
• シンプレクティック面積とマスロフ類を用いて単調性を特徴づけ、ホモロジー内のサイクルに対して $\mu(r_i) = \frac{1}{2}\mu(e_i)$ という式を用いる。
• 多面体の法線ベクトルから得られる特定の整数の最大公約数を用いて最小マスロフ数 $N_L$ を計算する。
• 滑らかな同倫のハエフリガー＝ヒルシュ分類を用いて、滑らかな同倫型とラグランジュ同倫型を比較する。
• 双対格子のファイバー上への作用を分析することで、可定向性を特定し、これにより全空間の微分同相型を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{C}^n$ 内のデルツァント多面体に対応するラグランジュ部分多様体がいつ単調になるか。
• RQ2 そのようなラグランジュ部分多様体の最小マスロフ数は何か？ また、その値は多面体の組合せ型にどのように依存するか。
• RQ3 同じ滑らかな多様体の $\mathbb{C}^n$ 内への2つのラグランジュ埋め込みが、滑らかに同倫的であってもラグランジュ同倫的ではないことはあり得るか。
• RQ4 ファイバー束構造の位相的性質とシンプレクティック不変量が、ラグランジュ同倫型にどのように影響を与えるか。
• RQ5 ファノ条件が関連ラグランジュ部分多様体の単調性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• デルツァント多面体 $P \subset \mathbb{C}^n$ に対応するラグランジュ部分多様体 $L \subset \mathbb{C}^n$ が単調であるための必要十分条件は、$P$ がファノであることである。
• $T^2$ 上にファイバー $S^{p-1} \times S^{n-p-1}$ を持つラグランジュ部分多様体 $L_k$ の族に対して、最小マスロフ数は $N_{L_k} = \gcd(p, n-p+k)$ に等しい。
• ファノの6角形から得られるラグランジュ部分多様体 $\mathcal{N} = S_{17} \times_{D_\Gamma} T^4 \to T^4$ は、$\mathbb{C}^6$ 内で単調であり、最小マスロフ数は $N_L = 1$ である。
• 五角形多面体の族に対して、$\mathbb{C}^5$ 内に埋め込まれた関連する自己交叉ラグランジュ部分多様体の最小マスロフ数は $N_L = k$（$k$ は偶数）であり、それらはすべて単調である。
• $k$ が偶数のとき、全空間の微分同相型は一定であるが、マスロフ類は $k$ に依存し、これにより無限に多くの非ラグランジュ同倫的埋め込みが得られる。
• 固定された多様体の $\mathbb{C}^n$ 内への滑らかな同倫型には、複数の非ラグランジュ同倫的単調ラグランジュ部分多様体が含まれる例が存在し、これは剛性現象を示している。