[論文レビュー] Monte Carlo for high-dimensional degenerated Semi Linear and Full Non Linear PDEs

Xavier Warin|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、特異的拡散を有する高次元非線形PDEを解くためのモンテカルロ法を拡張し、ネストされた確率過程とランダムな時間ステップを用いることで、次元の呪いを回避する。この手法は、d=10までの高次元で収束を達成し、計算時間は20秒未塔で、ポートフォリオ最適化問題において有効であることを示している。

ABSTRACT

We extend a recently developed method to solve semi-linear PDEs to the case of a degenerated diffusion. Being a pure Monte Carlo method it does not suffer from the so called curse of dimensionality and it can be used to solve problems that were out of reach so far. We give some results of convergence and show numerically that it is effective. Besides we numerically show that the new scheme developed can be used to solve some full non linear PDEs. At last we provide an effective algorithm to implement the scheme.

研究の動機と目的

• d≈6–7を超えると決定的および回帰ベースの手法が失敗するため、高次元非線形PDEの次元の呪いに対処すること。
• 非特異的半線形PDEに対する既存のモンテカルロスキームを、特異的拡散係数の状況に拡張すること。
• 高次元における基底関数展開によるメモリ爆発を回避する、数値的に効果的なアルゴリズムの開発。
• 収束の証明がないものの、完全非線形PDEへの応用の可能性を検討すること。

提案手法

• 特異的拡散を有する半線形PDEを解くために、[22]にインspiredされたランダム時間ステップを用いたネストされたモンテカルロスキームを用いる。
• 固定回数のスイッチ（すなわちネストレベル）後に切断機構を導入し、形状母数α < 1のガンマ分布に従うランダム時間ステップを用いる。
• スキームはフェインマン＝カースの表現と確率的制御定式化に依存し、PDEをネストされた期待値を含む後向き確率的微分方程式（BSDE）に変換する。
• 主な革新点は、疑似逆行列または低次元ダイナミクスに再定式化することで、逆行列が存在しない拡散行列σを扱えるようにすること。
• MPIを用いた16ノード（448コア）での並列化を実施し、スケーラブルな乱数生成のためTinaの乱数生成器を採用。
• 完全非線形PDEの場合は、生成子関数fの制御ベースの切断を用いてリプシッツ連続性を保証し、数値的安定性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の回帰ベースの手法がメモリ制限により失敗する高次元特異的拡散を有する半線形PDEを、純粋なモンテカルロ法が効果的に解けるか？
• RQ2 特異的拡散行列σを有する場合でも、ランダム時間ステップを用いたネストされたモンテカルロスキームが収束性と精度を維持するか？
• RQ3 収束の証明がないにもかかわらず、この手法を完全非線形PDEにどの程度まで拡張できるか？
• RQ4 計算コストは次元にどのように依存するか？d=8またはd=10においても、20秒未満の実用的実行時間で維持できるか？
• RQ5 ガンマ分布（α < 1）に従うランダム時間ステップが、解の安定性と精度に与える影響は？

主な発見

• 特異的拡散を有する半線形PDEをd=10で解いた結果、20秒未塔で基準値と0.0008以内の精度で一致した。
• 1次元のポートフォリオ最適化問題において、2回のスイッチとN₀⁰=1000、N₁⁰=40を用いた結果、価値関数推定値は0.3661となり、準解である-0.3662と一致した。
• d=3、d=8、d=10の高次元において、M=4およびσ̄=0.2を用いた場合、理論的解と0.0008以内の高い精度を維持した。
• 計算時間は次元に比例して増加し、d=10においても20秒未塔に留まり、回帰ベースの手法の限界を超えたスケーラビリティを示した。
• 数値実験から、完全非線形PDEに対してもこの手法が適用可能である可能性が示唆されたが、収束は未証明であり、実用的応用においては有望な結果が得られた。
• α<1のガンマ分布時間ステップの使用は収束に不可欠であり、α=1の指数分布極限は性能面で数値的に最適であった。