[論文レビュー] Monte Carlo simulation of stoquastic Hamiltonians

Sergey Bravyi|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Quantum many-body systems参考文献 27被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、基底状態との重なりが無視できないガイド状態が存在する場合、局所的ストキュースティックハミルトニアンの基底状態エネルギーを、モンテカルロ法を用いて効率的に推定できることを確立している。また、ガイド付きストキュースティックハミルトニアン問題が複雑度クラスMAに完全であることを証明し、強磁性トランスバース場イジング模型が、ジェルラム＝シンクラーのアルゴリズムに基づく古典的FPRASによって多項式時間でシミュレート可能であることを示している。

ABSTRACT

Stoquastic Hamiltonians are characterized by the property that their off-diagonal matrix elements in the standard product basis are real and non-positive. Many interesting quantum models fall into this class including the Transverse field Ising Model (TIM), the Heisenberg model on bipartite graphs, and the bosonic Hubbard model. Here we consider the problem of estimating the ground state energy of a local stoquastic Hamiltonian $H$ with a promise that the ground state of $H$ has a non-negligible correlation with some `guiding' state that admits a concise classical description. A formalized version of this problem called Guided Stoquastic Hamiltonian is shown to be complete for the complexity class MA (a probabilistic analogue of NP). To prove this result we employ the Projection Monte Carlo algorithm with a variable number of walkers. Secondly, we show that the ground state and thermal equilibrium properties of the ferromagnetic TIM can be simulated in polynomial time on a classical probabilistic computer. This result is based on the approximation algorithm for the classical ferromagnetic Ising model due to Jerrrum and Sinclair (1993).

研究の動機と目的

• ガイド状態を伴うストキュースティックハミルトニアンの基底状態エネルギー推定の計算複雑度を形式化すること。
• ガイド付きストキュースティックハミルトニアン問題が複雑度クラスMAに完全であることを示すこと。
• 強磁性トランスバース場イジング模型の基底状態および熱的性質が、多項式時間で古典的にシミュレート可能であることを実証すること。
• ストキュースティックハミルトニアンが符号問題を回避し、効率的な古典的シミュレーションに適しているという信念の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• ストキュースティックハミルトニアンのシミュレーションに、可変なウォークャー数を用いた投影モンテカルロ法を用いる。
• スズキ＝トロッター公式を用いて、量子分配関数を非負の重みを持つ古典的分配関数に写像する。
• 基底状態との重なりが多項式的に小さくても無視できないガイド状態を用いて、効率的なサンプリングを可能にする。
• 複数の系のコピーを相互層間結合で接続することで、問題を古典的強磁性イジング模型に還元する。
• ジェルラムとシンクラー（1993年）による、古典的強磁性イジング模型のFPRAS（完全多項式確率的近似スキーム）を活用する。
• テイラー級数展開と作用素ノルムの境界を用いて、トレッター＝スズキ分解における近似誤差を制御する誤差解析を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガイド状態を伴うストキュースティックハミルトニアンの基底状態エネルギー推定問題は、複雑度クラスMAに含まれるか？
• RQ2 強磁性トランスバース場イジング模型の基底状態エネルギーは、古典コンピュータ上で効率的にシミュレート可能か？
• RQ3 非負の重なりを持つガイド状態の存在が、ストキュースティックハミルトニアンの効率的古典的モンテカルロシミュレーションを可能にするか？
• RQ4 基底変換と古典的サンプリングによって、広範な量子モデルのクラスで符号問題を回避できるか？
• RQ5 ガイド付きストキュースティックハミルトニアン問題の計算複雑度は何か？

主な発見

• ガイド付きストキュースティックハミルトニアン問題は、複雑度クラスMAに完全であり、確率的証明下での計算の困難さと検証可能性を確立している。
• 強磁性トランスバース場イジング模型の基底状態エネルギーは、乗法的誤差δの範囲内で、時間O(n^59 J^21 δ^(-9))で近似可能（対数因子を無視して）。
• 写像された強磁性イジング模型の古典的分配関数は、実行時間O(δ^(-2) M^3 N^11 log N)のFPRASを備える。ここで、N = nr かつ M ≤ n^2 r である。
• h_u ≥ δ/n であると仮定すれば、摂動論的議論により、量子分配関数における近似誤差はδで抑えられる。
• トレッター＝スズキ近似における誤差の作用素ノルムは12ρ^3で抑えられ、級数展開の収束を保証する。
• 本手法により、強磁性TIMの熱的および基底状態の性質が多項式時間で古典的にシミュレート可能であることが実証され、量子的起源を持つにもかかわらず、こうしたモデルが効率的にシミュレート可能であることが示された。