[論文レビュー] Moonshine Cohomology

Bong H. Lian, Gregg J. Zuckerman|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 1995

Advanced Topics in Algebra被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、量子オペレータ代数からバタリン＝ヴィルコビッチ代数への新しいコホモロジー関手、Moonshineコホモロジーを導入する。この関手の自然な自己同型群として、フィッシャー＝グリースのモンスター群が現れる。一般化された消滅定理を証明し、ランク2の単模的格子の1次コホモロジーを用いてボルツァーのモンスターLie代数を構成する。このコホモロジーの、双曲的格子によるグレーディングをもつヘルミートLie代数としての新しい次数次元および符号数が得られる。

ABSTRACT

We construct a new cohomology functor from the a certain category of {\it quantum operator algebras} to the category of {\it Batalin-Vilkovisky algebras}. This {\it Moonshine cohomology} has, as a group of natural automorphisms, the Fischer-Griess Monster finite group. We prove a general vanishing theorem for this cohomology. For a certain commutative QOA attached to a rank two hyperbolic lattice, we show that the degree one cohomology is isomorphic to the so-called Lie algebra of physical states. In the case of a rank two unimodular lattice, the degree one cohomology gives a new construction of Borcherd's Monster Lie algebra. As applications, we compute the graded dimensions and signatures of this cohomology as a hermitean Lie algebra graded by a hyperbolic lattice. In the first half of this paper, we give as preparations an exposition of the theory of quantum operator algebras. Some of the results here were announced in lectures given by the first author at the Research Institute for Mathematical Sciences in Kyoto in September 94.

研究の動機と目的

• 量子オペレータ代数からバタリン＝ヴィルコビッチ代数への新しいコホモロジー理論—Moonshineコホモロジー—を構築すること。
• フィッシャー＝グリースのモンスター有限群を、このコホモロジー関手の自然な自己同型群として確立すること。
• 双曲的格子によるグレーディングをもつヘルミートLie代数として見た場合の、Moonshineコホモロジーの次数次元および符号数を計算すること。
• ランク2の単模的格子の1次コホモロジーを用いて、ボルツァーのモンスターLie代数を再構成すること。
• このコホモロジー理論に対して一般化された消滅定理を証明すること。

提案手法

• 著者たちは、量子オペレータ代数（QOAs）の圏からバタリン＝ヴィルコビッチ代数の圏へのコホモロジー関手を定義する。
• 特に双曲的格子および単模的格子に関連する量子オペレータ代数の構造を用いて、コホモロジー群を定義する。
• この構成は、特に共形場理論の文脈において、頂点演算子代数およびその表現の代数的性質に依存する。
• Moonshineコホモロジーは、その自己同型群を通じてフィッシャー＝グリースのモンスター群の作用を有することが示される。
• 1次コホモロジーは、ランク2の双曲的格子に対応する物理状態のLie代数に一致する。
• ヘルミート構造を用いて、双曲的格子によるグレーディングをもつコホモロジーの次数次元および符号数が計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィッシャー＝グリースのモンスター群の対称性を自然に組み込むことができるコホモロジー理論はどのように構築できるか？
• RQ2 双曲的格子に関連する量子オペレータ代数に対して、1次Moonshineコホモロジーの構造はどのようなものか？
• RQ3 ボルツァーのモンスターLie代数は、この新しいコホモロジー関手を用いて再構成可能か？
• RQ4 双曲的格子によるグレーディングをもつヘルミートLie代数として見た場合、Moonshineコホモロジーの次数次元および符号数は何か？
• RQ5 このコホモロジー理論に成立する一般的な構造的性質（例えば、消滅定理）は何か？

主な発見

• Moonshineコホモロジー関手は、フィッシャー＝グリースのモンスター有限群を自然な自己同型群として持つ。
• このコホモロジーに対して一般化された消滅定理が成り立ち、その群に構造的制約を与える。
• ランク2の双曲的格子に対して、1次コホモロジーは物理状態のLie代数に同型である。
• ランク2の単模的格子の場合、1次コホモロジーはボルツァーのモンスターLie代数の新しい構成を与える。
• コホモロジーの次数次元および符号数は、双曲的格子によるグレーディングをもつヘルミートLie代数として計算される。
• コホモロジーはバタリン＝ヴィルコビッチ代数として実現され、これにより量子場理論および超弦理論の構造と結びつく。