[論文レビュー] Mordell-Weil groups of elliptic threefolds and the Alexander module of plane curves

José Agustín, Anatoly Libgober|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、$j$-不変量が 0 もしくは 1728 である楕円的三重被覆のモーデル＝ヴェイユ群と、ノードおよびカスプのみをもつ平面曲線のアレクサンダー加群との間に深い関係を確立する。モーデル＝ヴェイユ群のランクをアレクサンダー多項式の次数に関連付けることで、次数 $d$ の非可約平面曲線に対して、そのアレクサンダー多項式の次数が $rac{5}{3}d - 2$ で有界であることを証明し、楕円型の準トーリック関係を用いて非自明なアレクサンダー多項式を特徴付ける。

ABSTRACT

We show that the degree of the Alexander polynomial of an irreducible plane algebraic curve with nodes and cusps as the only singularities does not exceed ${5 \over 3}d-2$ where $d$ is the degree of the curve. We also show that the Alexander polynomial $Δ_C(t)$ of an irreducible curve $C=\{F=0\}\subset \mathbb P^2$ whose singularities are nodes and cusps is non-trivial if and only if there exist homogeneous polynomials $f$, $g$, and $h$ such that $f^3+g^2+Fh^6=0$. This is obtained as a consequence of the correspondence, described here, between Alexander polynomials and ranks of Mordell-Weil groups of certain threefolds over function fields. All results also are extended to the case of reducible curves and Alexander polynomials $Δ_{C,ε}(t)$ corresponding to surjections $ε: π_1(\mathbb P^2\setminus C_0 \cup C) ightarrow \mathbb Z$, where $C_0$ is a line at infinity. In addition, we provide a detailed description of the collection of relations of $F$ as above in terms of the multiplicities of the roots of $Δ_{C,ε}(t)$. This generalization is made in the context of a larger class of singularities i.e. those which lead to rational orbifolds of elliptic type.

研究の動機と目的

• $j$-不変量が 0 または 1728 である楕円的三重被覆のモーデル＝ヴェイユ群と、平面曲線のアレクサンダー加群との間の対応関係を確立すること。
• ノードおよびカスプのみを特異点としてもつ非可約平面曲線のアレクサンダー多項式の次数を有界化すること。
• 準トーリック関係を用いて、そのような曲線のアレクサンダー多項式が非自明である条件を特徴付けること。
• 可約曲線および $ au: \pi_1(\mathbb{P}^2 \setminus \mathcal{C}_0 \cup \mathcal{C}) \to \mathbb{Z}$ のような全射 $ε$ に関連する一般化されたアレクサンダー多項式へと結果を拡張すること。
• 同次多項式 $f$, $g$, $h$ が $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$ を満たす関係に基づいて、アレクサンダー多項式の根の重複度構造を記述すること。

提案手法

• 定数 $j$-不変量 0 または 1728 をもつ $\mathbb{C}(x,y)$ 上の楕円的三重被覆の幾何学を用い、そのモーデル＝ヴェイユ群をノードおよびカスプのみをもつ平面曲線のアレクサンダー加群と関連付ける。
• オーロラ構造をもつ $\mathbb{P}^2$ から $\mathbb{P}^1$ への有理写像を構成し、非再帰的ファイバーが曲線の特異点に対応するようにする。
• 同次多項式 $f,g,h$ に対して $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$ を満たす解として、楕円型の準トーリック関係を定義し、非自明なアレクサンダー多項式の存在と関連付ける。
• 各 $m_i$ に対して $\sum 1/m_i = 1$ を満たす多重度をもつオーロラ構造の楕円的パンルの理論を適用し、型 $(2,3,6)$, $(3,3,3)$, または $(2,4,4)$ のオーロラ構造を得る。
• モーデル＝ヴェイユ群のランクを用いて、公式 $\text{deg } \Delta_{\mathcal{C},\varepsilon} = \dim (G'/G'' \otimes \mathbb{Q}) \otimes_\Lambda \Lambda/(t_1 - t^{\varepsilon(\gamma_1)}, \dots)$ を用いてアレクサンダー多項式の次数を計算する。
• デグティャレフの可除性基準および特徴的多様体の理論を用い、準トーリック関係の存在とその独立性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードおよびカスプのみを特異点としてもつ非可約平面曲線のアレクサンダー多項式の最大次数は何か？
• RQ2 そのような曲線のアレクサンダー多項式が非自明であるための代数的条件は何か？
• RQ3 $j=0$ または $j=1728$ である楕円的三重被覆のモーデル＝ヴェイユ群は、平面曲線の位相的性質とどのように関係するか？
• RQ4 アレクサンダー多項式の根の重複度構造は、多項式関係の観点から記述可能か？
• RQ5 楕円型の準トーリック関係の理論は、非自明なアレクサンダー多項式をもつ曲線を分類するためにどの程度利用可能か？

主な発見

• ノードおよびカスプのみをもつ非可約平面曲線 $\mathcal{C}$ のアレクサンダー多項式 $\Delta_{\mathcal{C},\varepsilon}(t)$ の次数は、$d$ を $\mathcal{C}$ の次数として、$\frac{5}{3}d - 2$ で上から有界である。
• アレクサンダー多項式が非自明であることは、同次多項式 $f$, $g$, $h$ が $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$ を満たすことに同値であり、ここで $F$ が曲線を定義する。
• 次数 12、カスプ 39 個をもつ曲線 $\mathcal{C}_{12,39}$ は、アレクサンダー多項式 $\Delta_{\mathcal{C}_{12,39}}(t) = (t^2 - t + 1)^4$ をもち、根の重複度が 4 である最初の既知の例である。
• 可約曲線では、グローバル多項式が自明であっても、アレクサンダー多項式 $\Delta_{\mathcal{C},\varepsilon}(t)$ が非自明になり得る。例として $\mathcal{C}_6^{(1)}$ に対して $\varepsilon = (1,2)$ をとると $\Delta(t) = t^2 + 1$ が得られる。
• 楕円型の準トーリック関係が存在することは、曲線が $\mathbb{P}^1$ への有理写像をもち、その中で三つの非再帰的ファイバーの多重度の逆数の和が 1 に等しいことを意味する。
• 曲線 $F = (y^3 - z^3)(z^3 - x^3)(x^3 - y^3)$ は型 $(3,3,3)$ の準トーリック関係をもち、そのアレクサンダー多項式は $\Delta_{\mathcal{C}}(t) = (t^2 + t + 1)^2(t - 1)^8$ である。