[論文レビュー] Mordell-Weil Torsion, Anomalies, and Phase Transitions

Mboyo Esole, Monica Jinwoo Kang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、楕円曲線ファイバーを持つCalabi-Yau三様体へのM理論の compactification において、Mordell-Weil torsion 群が5次元 N=1 ゲージ理論のクーロン位相構造および物質内容に与える影響を調査する。著者らは、オイラー特性、ホッジ数、三重交差数といった位相的不変量を計算することで、曲線と除数の交わりを通じて幾何学的に物質表現とその多重度を特定する。主な結果は、6次元へのアップリフトにおける異常キャンセレーション条件、特に異常多項式における曲率形式の4乗項の消滅を用いて、ハイパーマトリックス表現とその数を完全に特定することにある。

ABSTRACT

We explore how introducing a non-trivial Mordell-Weil group changes the structure of the Coulomb phases of a five-dimensional gauge theory from an M-theory compactified on an elliptically fibered Calabi-Yau threefolds with a I$_2$+I$_4$ collision of singularities. The resulting gauge theory has a semi-simple Lie algebra $\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{sp}(4)$ or $\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(4)$. We compute topological invariants relevant for the physics, such as the Euler characteristic, Hodge numbers, and triple intersection numbers. We determine the matter representation geometrically by computing weights via intersection of curves and fibral divisors. We fix the number of charged hypermultiplets transforming in each representations by comparing the triple intersection numbers and the one-loop prepotential. This condition is enough to fix the number of representation when the Mordell-Weil group is $\mathbb{Z}_2$ but not when it is trivial. The vanishing of the fourth power of the curvature forms in the anomaly polynomial is enough to fix the number of representations. We discuss anomaly cancellations of the six-dimensional uplifted. In particular, the gravitational anomaly is also considered as the Hodge numbers are computed explicitly without counting the degrees of freedom of the Weierstrass equation.

研究の動機と目的

• 楕円曲線ファイバーを持つCalabi-Yau三様体へのM理論compactification から生じる5次元N=1ゲージ理論のクーロン位相構造が、非自明なMordell-Weil群によってどのように変化するかを理解すること。
• 解消されたCalabi-Yau幾何における基本的な位相的不変量（オイラー特性、ホッジ数、三重交差数）を計算すること。
• I2+I4特異点衝突の文脈において、曲線とファイブレル除数の交わりを通じて、物質表現とその多重度を幾何学的に特定すること。
• 6次元アップリフトにおける1ループ自己エネルギー関数と異常キャンセレーション条件を用いて、各表現に変換するハイパーマトリックスの数を固定すること。
• 異常多項式の明示的計算を通じて、重力的およびゲージ異常を含む6次元(1,0)超重力理論における完全な異常キャンセレーションを検証すること。

提案手法

• 著者らは、楕円曲線ファイバーを持つCalabi-Yau三様体のWeierstrassモデルと、そのクリープアント解消を用いて、ゲージ代数が su(2)⊕sp(4) または su(2)⊕su(4) である5次元N=1ゲージ理論を構成する。
• 特異点の明示的解消と解消された三様体上の交差理論を用いて、オイラー特性やホッジ数といった位相的不変量を計算する。
• 有理曲線とファイブレル除数間の交差数を計算することで、代数的幾何学的手法を用いて重みを特定し、物質表現を幾何学的に決定する。
• 三重交差多項式を5次元理論の1ループ自己エネルギー関数と一致させることで、各表現におけるハイパーマトリックスの数を固定する。
• 異常多項式を計算し、表現の多重度を一貫的に設定した際に、重力的およびゲージ異常を含むすべての項が消えることにより、6次元アップリフトにおける異常キャンセレーションを検証する。
• Mordell-Weil群が自明である場合に、異常多項式における曲率形式の4乗項の消滅が、表現の多重度を固定する重要な制約条件として用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なMordell-Weil群 Z2 の存在が、M理論compactification から生じる5次元N=1ゲージ理論のクーロン位相構造にどのように影響を与えるか？
• RQ2 曲線とファイブレル除数の交わりから、得られるゲージ理論の物質表現内容を特定する正確な幾何学的手法は何か？
• RQ3 1ループ自己エネルギー関数と三重交差数を用いて、各表現におけるハイパーマトリックスの数をどのように固定できるか？
• RQ4 Mordell-Weil群が自明である場合に、異常多項式における曲率形式の4乗項の消滅が、表現の多重度を決定する際に果たす役割は何か？
• RQ5 Mordell-Weil群が自明である場合に、6次元アップリフトにおける異常キャンセレーションは、物質スペクトルを一意に固定するためにどの程度利用可能か？

主な発見

• 三重交差多項式と自己エネルギー関数を一致させることで、(1,15)表現に変換するハイパーマトリックスの数が n1,15 = 1/2(−LT + T² + 2) に固定され、(1,6)表現については n1,6 = LT に固定される。
• (2,1)表現の多重度は、特定の係数条件の下で曲線 Cs1 が Cs1+ と Cs1− に分裂することにより、n2,1 = 2S(4L − S − 2T) として決定される。
• (2,4) および (2,4̄) 表現の多重度は、対称性と交差制約を用いて n2,4 = n2,4̄ = 1/2 ST に固定される。
• Mordell-Weil群が自明である場合、異常多項式における曲率形式の4乗項の消滅が、特に(1,15)および(1,6)表現の多重度を一意に固定する。
• 6次元異常多項式が完全な平方として表されること、すなわち I8 = 1/8 (K trR² + 4S tr² F²₁ + 4T tr⁴ F²₂)² であることが示され、重力的異常を含むすべての異常の完全なキャンセレーションが確認される。
• Weierstrass方程式の次数数え上げに依存せずに、ホッジ数とオイラー特性が明示的に計算され、L = −K であるCalabi-Yau条件の幾何的導出がなされる。