[論文レビュー] More on the admissible condition on differentiable maps $φ: (X^{\!A\!z},E; abla) ightarrow Y$ in the construction of the non-Abelian Dirac-Born-Infeld action $S_{DBI}(φ, abla)$

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非アーベルDBI作用の構成における微分可能写像 $\varphi: (X^{\!A\!z},E;\nabla) \to Y$ の許容条件を精緻化し、条件 (1) が開弦の視点から接続 $\nabla$ の質量なしを保証することを示している。一方、条件 (2) は $\varphi(X^{\!A\!z})$ のノルム的な曇りの分離を強制する。著者らは許容性の改訂定義と、D-brane のチェーン＝シモンズ／ヴェス＝ツミノ（CS/WZ）項における修正された異常因子を提案する。

ABSTRACT

In D(13.1) (arXiv:1606.08529 [hep-th]), we introduced an admissible condition on differentiable maps $φ: (X^{\!A\!z}, E; abla) ightarrow Y$ from an Azumaya/matrix manifold $X^{\!A\!z}$ (with the fundamental module $E$) with a connection $ abla$ on $E$ to a manifold $Y$ in order to resolve a pull-push issue in the construction of a non-Abelian-Dirac-Infeld action $S_{DBI}$ for $(φ, abla)$ and to render $ abla$ massless from the aspect of open strings. The admissible condition ibidem consists of two parts: Condition (1) and Condition (2). In this brief note, we examine these two conditions in more detail and bring their geometric implications on $(φ, abla)$ and the full action $S_{DBI}(φ, abla)+S_{CS/WZ}(φ, abla)$ more transparent. In particular, we show that Condition (1) alone already implies masslessness of $ abla$ from open-string aspect; and that the additional Condition (2) implies a decoupling of the nilpotent fuzzy cloud of $φ(X^{\!A\!z})$ to the dynamics of $(φ, abla)$. We conclude with a refined definition of admissible $(φ, abla)$ and a remark on the anomaly factor in the integrand of the Chern-Simons/Wess-Zumino term $S_{CS/WZ}(φ, abla)$ for D-branes based on the current study.

研究の動機と目的

• 非アーベルDBI作用の構成における写像 $\varphi: (X^{\!A\!z},E;\nabla) \to Y$ の二部構成の許容条件の幾何学的・物理的意味を明確化すること。
• 条件 (1) が開弦場理論の視点から接続 $\nabla$ の質量なしを保証することを示すこと。
• 条件 (2) が $\varphi(X^{\!A\!z})$ のノルム的曇りが $\varphi$ と $\nabla$ の力学から分離することを示すこと。
• 幾何学的・物理的整合性に基づいて許容ペア $(\varphi, \nabla)$ の定義を精緻化すること。
• 本分析に基づき、D-brane のチェーン＝シモンズ／ヴェス＝ツミノ（CS/WZ）項 $S_{\mathrm{CS/WZ}}(\varphi, \nabla)$ の被積分関数における修正異常因子を提案すること。

提案手法

• 先行研究から導かれた二つの成分、条件 (1) と条件 (2) を分析し、$\varphi$ と $\nabla$ における許容条件の改訂を導入する。
• 条件 (1) を開弦のダイナミクスを通じて $\nabla$ の質量なし条件として分析し、有効作用に質量項が存在しないことを示す。
• 引き戻し写像 $\varphi^\sharp$ の標準的分解と、一般に共変的に不変な部分構造の概念を用いて、条件 (1) を形式化する。
• $C^\infty$-スキームの均一型および均一型の加群を用いて、$\varphi$ と $\nabla$ の幾何的構造を特徴付ける。
• 条件 (2) の下で、$\varphi$、その還元 $\varphi_{\mathrm{red}}$、および $\breve{X}$ への上げ上げ $\breve{f}$ の関係を示す図式を導入し、$S_{\mathrm{DBI}}$ と $S_{\mathrm{CS/WZ}}$ が保存されることを示す。
• CS/WZ項に向け、$\pi_{\breve{\varphi},*}(\sqrt{\hat{A}(T_*\breve{X})/\hat{A}(N_{\breve{f}})})$ の形の修正異常因子を提案し、これは $X$ 上の $\mathrm{End}_\mathbb{C}(E)$-値微分形式として自然に同定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 (1) が開弦有効場理論において接続 $\nabla$ の質量なしを保証するのに十分か。
• RQ2 条件 (2) が $\varphi(X^{\!A\!z})$ のノルム的曇りが $\varphi$ と $\nabla$ の力学から分離するにあたり果たす幾何的役割は何か。
• RQ3 チェーン＝シモンズ／ヴェス＝ツミノ項における異常因子を、$X^{\!A\!z}$ の非可換設定に一貫して拡張できるか。
• RQ4 条件 (2) の下で、全作用 $S_{\mathrm{DBI}}(\varphi, \nabla) + S_{\mathrm{CS/WZ}}(\varphi, \nabla)$ は、古典的極限 $\varphi_{\mathrm{red}}$ と $\breve{f}$ に一貫して還元可能か。
• RQ5 物理的整合性と幾何的透明性を両立する許容 $(\varphi, \nabla)$ の改訂定義は何か。

主な発見

• 条件 (1) が開弦場理論の視点から接続 $\nabla$ の質量なしを保証するのに十分であり、有効作用に質量生成項が存在しないことを保証する。
• 条件 (2) が $\varphi(X^{\!A\!z})$ のノルム的曇りが $\varphi$ と $\nabla$ の力学から分離することを保証し、作用が古典的極限に一貫して還元可能になる。
• 条件 (2) の下で、$S_{\mathrm{DBI}}(\varphi, \nabla)$ と $S_{\mathrm{CS/WZ}}(\varphi, \nabla)$ は、還元写像 $\varphi_{\mathrm{red}}$ および上げ上げ $\breve{f}$ におけるそれらの対応物と等しくなり、物理的整合性が保たれる。
• CS/WZ項における異常因子は、$\pi_{\breve{\varphi},*}(\sqrt{\hat{A}(T_*\breve{X})/\hat{A}(N_{\breve{f}})})$ と拡張されると提案され、これは $X$ 上の $\mathrm{End}_\mathbb{C}(E)$-値微分形式として自然に同定される。
• 許容 $(\varphi, \nabla)$ の改訂定義は、幾何的整合性と物理的要件（特に質量なしと分離）を両立する。
• 修正されたCS/WZ作用は、$S_{\mathrm{CS/WZ}}^{(C,B)}(\varphi, \nabla) = T_{m-1} \int_X \mathrm{Re} \left( \mathrm{Tr} \left( \varphi^\diamond C \stackrel{\scriptstyle\mbox{\tiny$\odot$}}{\wedge} e^{2\pi\alpha' F_\nabla + \varphi^\diamond B} \stackrel{\scriptstyle\mbox{\tiny$\odot$}}{\wedge} \pi_{\breve{\varphi},*}\sqrt{\hat{A}(T_*\breve{X})/\hat{A}(N_{\breve{f}})} \right) \right)_{(m)}$ として定義され、許容性のもとで還元作用と等価性を保つ。