[論文レビュー] Dynamics of D-branes I. The non-Abelian Dirac-Born-Infeld action, its first variation, and the equations of motion for D-branes --- with remarks on the non-Abelian Chern-Simons/Wess-Zumino term

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、接続を備えたアズマヤ／行列多様体から時空への写像を用いて、非アーベルディラック＝ボーン＝インフェルト（DBI）作用とその一次変分を定式化し、運動方程式を導出する。さらに、低次元D-brane（D(-1)からD2）に対して非アーベルチェーン＝サイモンズ／ヴェス＝ツミノ（CS/WZ）作用を構築し、その変分を導出し、CS/WZ項が運動方程式に一次の非線形項を寄与することを示す。この項は、DBIから導かれる系の構造を保ち続ける。

ABSTRACT

In earlier works, D(1) (arXiv:0709.1515 [math.AG]), D(11.1) (arXiv:1406.0929 [math.DG]), D(11.2) (arXiv:1412.0771 [hep-th]), and D(11.3.1) (arXiv:1508.02347 [math.DG]), we have explained why a D-brane in string theory, when treated as a fundamental dynamical object, can be described by a map $φ$ from an Azumaya/matrix manifold $X^{Az}$ (cf. D-brane world-volume) with a fundamental module with a connection $(E, abla)$ (cf. Chan-Paton bundle) to the target space-time $Y$. In this sequel, we construct a non-Abelian Dirac-Born-Infeld action functional $S_{DBI}^{(Φ, g, B)}(φ, abla)$ for such pairs $(φ, abla)$. We next develop a technical tool needed to study variations of this action and apply it to derive the first variation $δS_{DBI}^{(Φ,g,B)}/δ(φ, abla)$ of $S_{DBI}^{(Φ,g,B)}$ with respect to $(φ, abla)$. The equations of motion that govern the dynamics of D-branes then follow. A complete action for a D-brane world-volume must include also the Chern-Simons/Wess-Zumino term $S_{CS/WZ}^{(C)}(φ, abla)$ that governs how the D-brane world-volume couples with the Ramond-Ramond fields $C$ on $Y$. In the current notes, a version $S^{(C,B)}_{CS/WZ}(φ, abla)$ of non-Abelian Chern-Simons/Wess-Zumino action functional for $(φ, abla)$ that follows the same guide with which we construct $S^{(Φ,g,B)}_{DBI}(φ, abla)$ is constructed for lower-dimensional D-branes (i.e. D(-1)-, D0-, D1-, D2-branes). Its first variation $δS^{(C,B)}_{CS/WZ}(φ, abla)/δ(φ, abla)$ is derived and its contribution to the equations of motion for $(φ, abla)$ follows. The current notes lay down a foundation toward the dynamics of D-branes along the line of this D-project.

研究の動機と目的

• アズマヤ／行列多様体（X^Az）とその基本的モジュール（E,∇）を用いて、時空への写像φを介してD-braneの非アーベルディラック＝ボーン＝インフェルト作用関数を構築すること。
• 写像および接続に関して非アーベルDBI作用の一次変分を計算するための技術的枠組みを構築すること。
• DBIおよびCS/WZ項を含む総作用から、D-braneの運動方程式を導出すること。
• 低次元D-brane（D(-1)からD2）に対して非アーベルチェーン＝サイモンズ／ヴェス＝ツミノ作用関数を構築し、その一次変分を計算すること。
• CS/WZ項が運動方程式に与える寄与、特に一次の非線形項を生成する役割を分析すること。

提案手法

• 非アーベルDBI作用は、アズマヤ／行列多様体（X^Az）上の基本的モジュール（E,∇）を用いた時空Yへの写像φと、背景場（Φ,g,B）の結合を用いて構築される。
• 高次導分および環準同型に基づく技術的道具を用いて、(φ,∇)に関する一次変分δS_DBIGが導出される。
• チェーン＝サイモンズ／ヴェス＝ツミノ作用S_CS/WZは、DBI作用と類似の方法で構築され、ラムンド＝ラムンド場CおよびB場が組み込まれる。
• CS/WZ作用の一次変分が計算され、曲率項およびゲージ場Fμνと座標のプルバックを含む非アーベル交換子の寄与が明らかになる。
• 部分積分およびライブニッツ則を適用して変分式を簡略化し、許容可能な配置ではある種の3形式項が消えることが示される。
• DBIおよびCS/WZ作用の一次変分を組み合わせることで、元のDBI系の性質を保った連立運動方程式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アズマヤ／行列幾何と接続を用いて、D-braneの非アーベルディラック＝ボーン＝インフェルト作用を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 写像φおよび接続∇に関して非アーベルDBI作用の一次変分は何か？ そして、これは運動方程式をどのように導くか？
• RQ3 D-braneの次元が低い（D(-1)からD2）場合に、DBI構築と整合的な方法で非アーベルチェーン＝サイモンズ／ヴェス＝ツミノ作用をどのように構築できるか？
• RQ4 CS/WZ項が運動方程式に与える寄与は何か？ また、これはDBIから導かれる系の構造を保っているか？
• RQ5 ある種の3形式項（C(3), C(1)∧B）が∇に関する変分に寄与しないのはなぜか？ これはゲージ場への結合に関する何を示唆するか？

主な発見

• 非アーベルDBI作用の一次変分は、非可換かつゲージ場が結合された設定において、調和写像および最小部分多様体方程式を一般化する運動方程式系を導く。
• チェーン＝サイモンズ／ヴェス＝ツミノ項は、運動方程式に一次の非線形微分項を寄与させ、特に場強度Fμνと座標のプルバックとの交換子を含む。
• 3形式C(3)およびC(1)∧Bを含む項は、許容可能な配置では部分積分の下で消えるため、∇に関する変分に寄与しない。
• D-braneの運動方程式は、DBIおよびCS/WZの変分を組み合わせた連立系として導出され、CS/WZ項は元のDBI系の性質を保っている。
• 次元≤2のD-braneの非アーベルCS/WZ作用の構築が完了し、その一次変分にはDμφ♯(Ci)、Fμν、およびリーマン曲率に類似した項が明示的に含まれる。
• この枠組みは、非可換幾何におけるD-braneの力学を研究する基盤を確立し、解は背景場が存在する際のねじれ付き調和写像または最小部分多様体として解釈される。