[論文レビュー] More on the bending of light !

Kayll Lake|ArXiv.org|Nov 5, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、宇宙定数 Λ を伴う光の屈曲を再検討し、太陽による屈曲の標準的教科書結果 4u_⊙ が、近似法を用いる際、しばしば無視される2つの項のほぼ完全なキャンセルに起因することを示している。正確な解法（楕円積分を用いて）により、対称的配置では Λ の影響が測定された屈曲に与えないことが確認され、長年の Λ の役割に関する混乱が解消される。

ABSTRACT

Recently, Rindler and Ishak have argued that the bending of light is, in principle, changed by the presence of a cosmological constant since one must consider not only the null geodesic equation, but also the process of measurement. I agree with the fact that both must be considered. Here, on the basis of the mathematically exact solution to the classical bending problem, and independent of the cosmological constant, I clarify the approximate argument found in the vast majority of texts (new and old) for the measured value of the bending of light for a single source and show that the result is in part due to the almost perfect cancelation of two terms, one of which is seldom considered. When one considers two sources, this cancelation is of no consequence, and, for example, if the sources are opposite with the same associated apsidal distance, the approximate argument gives the rigorously correct answer (up to numerical evaluation), an answer which is unaffected by the presence of a cosmological constant.

研究の動機と目的

• シュワルツシルト時空における光の屈曲の広く引用される 4u_⊙ の結果の起源を明確にすること。
• 宇宙定数 Λ が測定された光の屈曲に実際に影響を与えるかどうかという論争を解決すること。
• 標準的近似が、ほとんど考慮されない2つの項の偶然的キャンセルに依存していることを示すこと。
• 対称的配置（例：互いに反対方向の2つの源）では、近似法が Λ に依存しない正確な結果を与えること。
• 幾何的屈曲と測定プロセスを両方含む、『光の屈曲』の厳密な操作的定義を提示すること。

提案手法

• ds² = dr²/f(r) + r²(dθ² + sin²θ dϕ²) - f(r)dt² の計量を用い、f(r) = 1 - 2m/r - Λr²/3 とすることで、宇宙定数を含む球対称時空における正確な光線方程式を導出する。
• 不完全楕円積分第1種を用いて、geodesic 方程式を正確に解き、u = m/r および ϕ(u) をパrameterとする。
• 操作的定義として、ψ = Δ_in + Δ_out とし、Δ_in はapsis に至るまでの屈曲、Δ_out は観測者の測定角度 χ を含む。
• 弱場および Λ ≪ 1 条件下での χ(u) の近似を用いて、Λ が観測角度に与える影響を評価する。
• 近似結果 2ϕ(0) - π と正確な式 ψ = 2ϕ(0) - π + O(λ) を比較し、Λ に起因するずれを定量化する。
• 太陽パラメータ（u_⊙ ≈ 10⁻⁵）を用いた数値評価により、近似の正確さと高次項の役割を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的近似で得られる 4u_⊙ の光の屈曲が、特定の項を無視してもなぜこれほど正確に保たれるのか？
• RQ2 単一の源に対して宇宙定数 Λ が実際に測定された光の屈曲を変えるのか？
• RQ3 観測者の角度 χ という測定プロセスが、Λ の存在下での幾何的屈曲とどのように相互作用するのか？
• RQ4 どのような条件下で近似法が正確な結果を与えるのか。なぜその場合 Λ は無関係になるのか？
• RQ5 Λ が観測された屈曲角に与える定量的影響は何か。それは原理的に測定可能か？

主な発見

• 太陽光の屈曲における古典的結果 4u_⊙ は、幾何的屈曲と測定角度補正のほぼ完全なキャンセルに起因しており、この補正項は標準的導出ではほとんど考慮されない。
• 等距離のapsis を持つ2つの対称的源に対しては、近似法が厳密に正しい結果を与える。この結果は宇宙定数 Λ に依存しない。
• 楕円積分による正確な解法により、観測者が無限遠でなく有限な r にいる場合、全屈曲角 ψ = 2ϕ(0) - π が Λ に影響されないことが確認された。
• 数値的評価により、2次補正項 4u_⊙ + u_⊙²(15π/4 - 4) を加えることで、精度が 10⁻¹⁰ アーキセonds よりも向上し、摂動的アプローチの妥当性が裏付けられた。
• fiducial 宇宙論的パラメータ下で、χ_Λ≠0 - χ_Λ=0 の差は約 0.3 アーキセonds と推定され、原理的には測定可能な影響であるが、物理的制約により制限される。
• ϕ(u) ≃ ϕ(0) および χ ≃ 0 の近似は不適切である。正しい近似は ϕ(u) - π/2 + χ(u) ≃ 2√(u_Σ² - u²) であり、これがシャピロ＝ウォード式の正確さを説明する。