[論文レビュー] More on the long time stability of Feynman-Kac semigroups

Grégoire Ferré, Mathias Rousset+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 60被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、Lyapunov 条件および minorization 条件に基づく、新たなスペクトル解析フレームワークを用いて、非線形的で保存的でない力学系へのフェ Feynman–Kac 半群の長時間安定性を確立する。これは、古典的なマコフ連鎖のエルゴード理論を非線形的・非保存的ダイナミクスへと拡張するものである。本稿では、一意な不変測度への指数的収束を証明し、SDE の離散化における一様な時間ステップ収束を導出する。応用分野には大偏差理論およびシュレーディンガー作用素のスペクトル解析が含まれる。

ABSTRACT

Feynman-Kac semigroups appear in various areas of mathematics: non-linear filtering, large deviations theory, spectral analysis of Schrodinger operators among others. Their long time behavior provides important information, for example in terms of ground state energy of Schrodinger operators, or scaled cumulant generating function in large deviations theory. In this paper, we propose a simple and natural extension of the stability of Markov chains for these non-linear evolutions. As other classical ergodicity results, it relies on two assumptions: a Lyapunov condition that induces some compactness, and a minorization condition ensuring some mixing. Illustrative examples are provided, where the stability of the non-linear semigroup arises either from the underlying dynamics or from the Feynman-Kac weight function. We also use our technique to provide uniform in the time step convergence estimates for discretizations of stochastic differential equations

研究の動機と目的

• 非線形的で非保存的ダイナミクスを有するフェ フェインマン–Kac 半群への古典的エルゴード理論を、非線形的フェ フェインマン–Kac 半群へと拡張すること。
• 非有界状態空間上におけるフェ フェインマン–Kac ダイナミクスの長時間安定性および一意な不変測度への収束を確立すること。
• 時間離散化された確率微分方程式に対する、時刻に依存しない一様収束見積もりを提供すること。
• h 変換を用いた線形マコフ過程へのフェ フェインマン–Kac ダイナミクスの統一的解析を可能とし、非自己随伴作用素のスペクトル理論を活用すること。

提案手法

• 非線形的フェ フェインマン–Kac ダイナミクスを、重み付きカーネル作用素 Qf によって支配される線形マコフ過程に変換する h 変換を用いる。
• 重み関数 W を用いた一般化された線形 Lyapunov 条件を適用し、コンパクト性および一様可積分性を保証する。
• コンパクト集合上での minorization 条件を課すことにより、再帰性および混合性を保証し、エルゴード性を確保する。
• 重み付きバナッハ空間における非自己随伴作用素のスペクトル理論を用いて、主固有値の存在および正の固有ベクトルの存在を証明する。
• 作用素ノルムの減衰見積もりを用いて、重み付き B∞-ノルムにおける指数的収束率を確立する。
• 離散的および連続的時間ダイナミクス（SDE を含む）に対して、具体的なモデルにおいて Lyapunov 条件および minorization 条件の検証を通じて、フレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界状態空間上におけるフェ フェインマン–Kac 半群が、一意な不変測度へ指数的収束するための条件は何か？
• RQ2 古典的なマコフ連鎖エルゴード理論のツールは、非線形的・非保存的進化カーネルにどのように適応可能か？
• RQ3 SDE の時間離散化フェ フェインマン–Kac ダイナミクスに対して、一様な時間ステップ収束を保証できるか？
• RQ4 大偏差理論におけるスケーリングされた積率母関数と、生成作用素の主固有値との関係は何か？
• RQ5 Lyapunov 条件および minorization 条件は、非可逆的・非自己随伴的設定において、スペクトルギャップおよび指数的エルゴード性をどのように保証するか？

主な発見

• 任意の初期測度 µ および有界可測テスト関数 ϕ に対して、フェ フェインマン–Kac 半群 Φk(µ)(ϕ) は一意な不変測度 µ⋆f へ指数的速さで収束する。
• 生成作用素の主固有値 Λ は、log(Λ) = limk→∞ (1/k) log E[exp(∑i=0k−1 f(xi) | x0 ∼µ)] を満たし、これは大偏差理論におけるスケーリングされた積率母関数に対応する。
• 連続時間ダイナミクスでは、類似の Lyapunov 条件および minorization 条件のもとで、重み付き L∞-ノルムにおける収束が確立される。
• カーネル作用素 Qf のスペクトル半径 Λ は正であり、これは不変測度のもとでのコンパクト集合の正の測度および正の minorization 定数の存在によって保証される。
• 時間離散化された SDE に対して、時刻に依存しない一様収束見積もりが導出され、離散時間作用素のスペクトル半径 Λ∆t が ∆t → 0 のとき連続時間固有値 λ へ収束することが示された。
• Λ に付随する主固有ベクトル h は全域で正であり、不変測度 µh は µh(W h−1) < ∞ を満たし、重み付きノルムにおける可積分性が保証される。