[論文レビュー] Mori dream surfaces associated with curves with one place at infinity

Pinaki Mondal|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限遠点に1つの場所を持つ曲線から生じる有理的表面を研究し、多項式の近似根を用いて生成元を明示的に構成することで、その Cox 環が有限生成であることを証明する。これにより、それらの表面が Mori 夢空間であることが示される。さらに、無限遠点におけるグローバル・ザリスキおよびエヌリケス半群を完全に特徴づけ、同型性を示し、[CPRL02] で提起された疑問に答えている。

ABSTRACT

We study a class of rational surfaces (considered in [Campillo, Piltant and Reguera, 2005]) associated to curves with one place at infinity and explicitly describe generators of the Cox ring and global sections of line bundles on these surfaces. In particular, we show that their Cox rings are finitely generated, i.e. they are Mori dream spaces. We also compute their "global Zariski semigroups at infinity" (consisting of line bundles which have no base points `at infinity') and "global Enriques semigroups" (generated by closures of curves in C^2). In particular, we show that the global Zariski semigroups at infinity and Enriques semigroups of surfaces corresponding to pencils which are equisingular at infinity are isomorphic, which answers a question of [Campillo, Piltant and Reguera-Lopez, 2002]. We also give an effective algorithm to determine if a (rational) surface `admits systems of numerical curvettes' (these surfaces were also considered in [Campillo, Piltant and Reguera, 2005]).

研究の動機と目的

• 無限遠点に1つの場所を持つ曲線に関連する有理的表面の Cox 環が有限生成であることを証明し、それらの表面が Mori 夢空間であることを確立すること。
• 多項式の近似根を用いて、Cox 環の生成元およびこれらの表面における線束のグローバルセクションを明示的に記述すること。
• 無限遠点におけるグローバル・ザリスキ半群およびグローバル・エヌリケス半群を、近似根によるトロピカル生成の観点から特徴づけること。
• [CPRL02] で提起された疑問、すなわち、無限遠点で同型な奇性を持つペンシルに対して、グローバル・ザリスキ半群とエヌリケス半群が同型であるかどうかを解明すること。
• 有理的表面が数値的カービット系を許容するかどうかを決定する有効なアルゴリズムを提示し、[CPR05] の結果を拡張すること。

提案手法

• 多項式 $f_i = F_i|_{\mathbb{C}^2}$ の近似根を用いて、表面 $X_V$ の Cox 環を構成し、それが明示的に生成されることを示す。
• 座標毎の最大値に関する閉包（トロピカル生成）を用いて、グローバル・エヌリケス半群 $P^{st}(X_V)$ を記述し、近似根の集合がこの半群をトロピカルに生成することを示す。
• 無限遠点におけるグローバル・ザリスキ半群 $\tilde{P}_\infty(X_V)$ を導入・分析する。これは $\mathbb{C}^2$ の外で基点を持たない除数の集合として定義され、近似根の積を用いて表現される。
• プアセューシリーズと半次数を用いて、特に一般化された次数付きプアセューシリーズ $\tilde{\phi}(x,\xi)$ 及びその共役を用いて、曲線の無限遠点における挙動を分析する。
• 形式的特徴的指数および多価性順序を用いて、無限遠点における特異点の構造を研究し、$p_j$ および $q_j$ を用いてプアセューシリーズ展開の重み付き次数を記述する。
• 共役系列の比較と半次数における次数の評価に役立つ $c \star_r \phi$ 操作を用い、補題 7.6 の鍵となる不等式の証明に不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限遠点に1つの場所を持つ曲線に関連する有理的表面の Cox 環は有限生成か？
• RQ2 グローバル・ザリスキ半群およびグローバル・エヌリケス半群は、定義多項式の代数的不変量を用いて明示的に記述可能か？
• RQ3 2つのペンシルが無限遠点で同型な奇性を持つ場合、それらのグローバル・ザリスキ半群およびエヌリケス半群は同型か？
• RQ4 近似根は、このような表面の Cox 環およびエヌリケス半群の生成に果たす役割は何か？
• RQ5 有理的表面が数値的カービット系を許容するかどうかを決定する有効なアルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 任意の $V \in \mathcal{V}$ に対して、$X_V$ の Cox 環は有限生成であり、これによりこれらの表面が Mori 夢空間であることが確認された。
• グローバル・エヌリケス半群 $P^{st}(X_V)$ は、$f_i = F_i|_{\mathbb{C}^2}$ の近似根に対応する除数 $D_{ij}$ によってトロピカルに生成される。
• 無限遠点におけるグローバル・ザリスキ半群 $\tilde{P}_\infty(X_V)$ も、近似根の積を用いて明示的に記述され、定理 5.7 および推論 6.3 で正確に特徴づけられている。
• 等奇性を持つペンシル $V_1, V_2 \in \mathcal{V}_1$ に対して、$X_{V_1}$ および $X_{V_2}$ のグローバル・ザリスキ半群およびエヌリケス半群は同型であり、[CPRL02] の質問 1.1 に対して肯定的な答えを与えた。
• 近似根の構造およびそのトロピカル生成に基づき、有理的表面が数値的カービット系を許容するかどうかを決定する有効なアルゴリズムが提示された。
• 補題 7.6 の証明により、結果関数の半次数間の鍵となる不等式が確立された。具体的には、$\epsilon_1 \geq \epsilon_2$ のとき $\delta(g_1)/\deg_y(g_1) \geq \delta(g_2)/\deg_y(g_2)$ が成り立つことが示され、半群に関する主結果の根拠となっている。