[論文レビュー] Mori fibre spaces for Kähler threefolds

Andreas Höring, Thomas Peternell|ERef Bayreuth (University of Bayreuth)|Oct 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、MRC-ファイブレーションの2次元基底をもつ非射影的コンpakto Kähler 3次元多様体が、Mori ファイブレーション空間にビメルモーフィックであることを確立している。正規化された Kähler 軌跡と、接続クラスの基点自由定理を用いた相対 MMP を適用することで、正則反 canonical 線分束が非常に正である Kähler 表面へのファイブレーションの存在を証明し、Kähler 3次元多様体の最小モデルプログラムを完成させる。

ABSTRACT

Let X be a compact Kaehler threefold such that the base of the MRC-fibration has dimension two. We prove that X is bimeromorphic to a Mori fibre space. Together with our earlier result arXiv:1304.4013 this completes the MMP for compact Kaehler threefolds: let X be a non-projective compact Kaehler threefold. Then X has a minimal model or X is bimeromorphic to a Mori fibre space over a non-projective Kaehler surface.

研究の動機と目的

• 非射影的コンパクト Kähler 3次元多様体の最小モデルプログラム（MMP）を、非有理的被覆の場合に解決すること。
• MRC-ファイブレーションの基底が2次元であるコンパクト Kähler 3次元多様体が、Mori ファイブレーション空間にビメルモーフィックであることを示すこと。
• Kähler 表面に相対 MMP を構築することで、非射影的状況への MMP の拡張を図ること、その基底には klt 特異点をもつこと。
• 正規化された Kähler 軌跡 $\omega$ を用いた接続クラス $K_X + \omega$ に対する基点自由定理を確立すること、これは非有理的被覆 Kähler 3次元多様体に対して成り立つ。

提案手法

• 一般のファイバー $F \simeq \mathbb{P}^1$ に対して $\omega \cdot F = 2$ を満たす正規化された Kähler 軌跡 $\omega$ を $X$ 上に取り、$K_X + \omega$ がファイバー上で自明であることを保証する。
• PĂĂun の最近の結果を用いて、基底が次元2である MRC-ファイブレーションの下で $K_X + \omega$ が擬効果的であることを示す。
• すべての正規化された Kähler 軌跡 $\omega'$ を $X'$ に対して $K_{X'} + \omega'$ がネフであるような MMP $X \dashrightarrow X'$ の存在を証明する。
• 正規化された Kähler 軌跡 $\omega$ に対して $K_X + \omega$ がネフである場合、その接続クラスがファイブレーション $\varphi: X \to S$ に対して $\varphi$-自明であることを示す基点自由定理を確立する。
• 射影的準同型の錐と収縮定理を用いて、表面 $S$ の上での相対 MMP を実行し、終了を保証する。
• 基本的収縮の性質を用いて、得られた終端表面 $S$ が $\mathbb{Q}$-因子的であり、かつ至るところ klt 特異点をもつことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非射影的コンパクト Kähler 3次元多様体で、MRC-ファイブレーションの基底が2次元であるものは、Mori ファイブレーション空間にビメルモーフィックなモデルをもつのか？
• RQ2 非有理的被覆の場合に、反 canonical 線分束が非常に正であるファイブレーションを構成することで、Kähler 3次元多様体の最小モデルプログラムを完成させられるか？
• RQ3 正規化された Kähler 軌跡 $\omega$ に対して、適切な MMP を施した後、接続クラス $K_X + \omega$ がネフであるか？ これにより基点自由定理が成立するか？
• RQ4 基点自由定理によって得られるファイブレーションは、$\mathbb{Q}$-因子的で klt 特異点をもつ Kähler 表面を基底とする Mori ファイブレーション空間構造をもつのか？

主な発見

• 終身特異点をもち、基底が2次元である正規 $\mathbb{Q}$-因子的コンパクト Kähler 3次元多様体は、Mori ファイブレーション空間にビメルモーフィックである。
• すべての正規化された Kähler 軌跡 $\omega'$ を $X'$ に対して $K_{X'} + \omega'$ がネフであるような MMP $X \dashrightarrow X'$ が存在する。
• 正規化された Kähler 軌跡 $\omega$ に対して $K_X + \omega$ がネフであるとき、その接続クラスは、コンパクト Kähler 表面 $S$ への正則ファイブレーション $\varphi: X \to S$ に対して $\varphi$-自明である。
• ファイブレーション $\varphi$ により $-K_X$ が $\varphi$-非常に正であり、$\rho(X/S) = 1$ が成り立つ。これは Mori ファイブレーション空間の定義を満たす。
• 基底表面 $S$ は $\mathbb{Q}$-因子的であり、基本的収縮の性質により、至るところ klt 特異点をもつ。
• 相対 MMP の最終的結果として得られるのは、$S''$ がコンパクト Kähler 表面である Mori ファイブレーション空間 $X'' \to S''$ であり、非射影的 Kähler 3次元多様体の最小モデルプログラムが完成する。