[論文レビュー] Morita theory in enriched context

Kruna Ratković|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、豊広圏論とモデル圏の文脈において、古典的モリタ理論のホモトピー的一般化を確立する。発生的生成されたモノイダルモデル圏におけるテンソル的強さと強いモノイドの性質を活用し、適切な条件下——例えば、単位のコフibrant性、強さ写像の弱同値性、ホモトピー的セル付加の保存性——において、強いモノイド上の代数のホモトピー圏が、基本圏内のモノイド上のモジュールのホモトピー圏とクィレン同値であることを証明する。これはシュヴェーデのΓ-環に関する定理を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

We develop a homotopy theoretical version of classical Morita theory using the notion of a strong monad. It was Anders Kock who proved that a monad T in a monoidal category E is strong if and only if T is enriched in E. We prove that this correspondence between strength and enrichment follows from a 2-isomorphism of 2-categories. Under certain conditions on T, we prove that the category of T-algebras is Quillen equivalent to the category of modules over the endomorphism monoid of the T-algebra T(I) freely generated by the unit I of E. In the special case where E is the category of Gamma-spaces equipped with Bousfield-Friedlander's stable model structure and T is the strong monad associated to a well-pointed Gamma-theory, we recover a theorem of Stefan Schwede, as an instance of a general homotopical Morita theorem.

研究の動機と目的

• 豊広圏論における古典的モリタ理論のホモトピー的一般化を定式化し、証明すること。
• 強いモノイド上の代数のホモトピー圏が、基本圏内のモノイド上のモジュールのホモトピー圏とクィレン同値であるための十分条件を特定すること。
• シュヴェーデのΓ-環に関する定理を、この一般的ホモトピー的モリタ同値の特別な例として回復すること。
• 2-圏的同型を介して、強い関手、豊広関手、およびテンソル的強さの関係を明確にすること。

提案手法

• テンソル化されたE-圏における、強い関手と強い自然変換の2-圏と、豊広関手と豊広自然変換の2-圏との間の2-同型を確立する。
• テンソル的強さと豊広性の対応関係を用いて、強いモノイド上の代数が自然にE-豊広性、テンソル化、コテンソル化構造を引き継ぐことを示す。
• T-代数とT(I)の自己準同型モノイド上のモジュールとの間に関連するモノイド準同態λ: −⊗T(I) → Tを導入し、自然な随伴を形成する。
• 4つの主要仮定——移行モデル構造、単位写像のコフibrant性、強さ写像の弱同値性、ホモトピー的セル拡張の保存性——の下で、モノイド準同態がクィレン同値を誘導することを証明する。
• Γ-空間とバウゼフィリダーの安定モデル構造の状況において、仮定を検証し、良好に点をもつΓ理論が条件を満たすことを示す。
• 結果を応用して、FSP A^S 上のモジュールと強いモノイド A∘− 上の代数との間のクィレン同値性を示し、リダキスの埋め込みを介してスペクトルへの理論の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダルモデル圏内のモノイド上のモジュールのホモトピー圏と、強いモノイド上の代数のホモトピー圏がクィレン同値であるための条件は何か？
• RQ2 テンソル的強さの概念は、対称モノイダル圏における豊広性とどのように関係するか？ これは2-圏的枠組みで形式化可能か？
• RQ3 シュヴェーデのΓ-環と連結スペクトルに関する定理は、一般的ホモトピー的モリタ定理の特別な例として導けるか？
• RQ4 T-代数における自由セル付加が、基本圏におけるホモトピー的セル付加に対応するための条件は何か？
• RQ5 Γ-空間の圏上でコンパクトな台を持つ強いモノイドを考察することで、ホモトピー的モリタ定理をすべてのスペクトルをモデル化するように拡張可能か？

主な発見

• テンソル化されたE-圏上の強い関手と豊広関手の2-圏は2-同型であり、強い関手と豊広関手のモノイドの間の自然な同値性を確立する。
• 単位対象I上の自由T-代数の自己準同型モノイドは、ホモトピー圏においてT(I) ≅ Hom_T(T(I), T(I))により自然にモノイド構造を備える。
• 仮定のもとで、モノイド準同態λ: −⊗T(I) → Tは、T(I)-モジュールの圏とT-代数の圏との間のクィレン同値を誘導する。
• 安定モデル構造を備えたΓ-空間の状況では、定理によりシュヴェーデの結果が回復される：well-pointed Γ-theory Aに対してHo(Mod_{A^S}) ≃ Ho(Alg_{A∘})である。
• 仮定(d)であるホモトピー的セル付加に関する条件は、基本圏が点をもつ場合で、良い単体的実現を備える場合、実現性と除去性の性質を用いて再定式化可能である。
• リダキスの埋め込みを介してFSP（スモールプロダクトを持つ関手）へ拡張可能であり、コンパクトに台を持つ強いモノイド上の代数と、ボクスタッドのFSP上のモジュールとの間のクィレン同値性を構成可能である。