[論文レビュー] Segal Enriched Categories I

Hugo V. Bacard|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱同値のクラス $$\mathscr{W}$$ を備えた双圏 $$\mathscr{M}$$ 上のセガール豊密化カテゴリ、すなわちセガール $$\mathscr{M}_{\mathscr{W}}$$-カテゴリを導入する。これは古典的な豊密化カテゴリおよびセガールの高次カテゴリへのアプローチを一般化するもので、局所化された双圏 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ を構成することにより、結合則および単位則が局所化を通じて持ち上がるように保証する。これにより、デカルトモノイダル圏を超える豊密化カテゴリのホモトピー的枠組みが提供される。

ABSTRACT

We develop a theory of enriched categories over a (higher) category M equipped with a class W of morphisms called homotopy equivalences. We call them Segal M_W -categories. Our motivation was to generalize the notion of "up-to-homotopy monoids" in a monoidal category M, introduced by Leinster. The formalism adopted generalizes the classical Segal categories and extends the theory of enriched category over a bicategory. In particular we have a linear version of Segal categories which did not exist so far. Our goal in this paper is to present the theory and provide some examples. Applications are reserved for the future.

研究の動機と目的

• レインスタインのホモトピー的モノイドの概念を、モノイドの数が複数ある設定に一般化する。
• セガールの高次カテゴリへのアプローチを、ホモトープ的文脈における豊密化カテゴリを定義することによって拡張する。
• 弱同値のクラス $$\mathscr{W}$$ を備えた双圏 $$\mathscr{M}$$ から、局所化された双圏 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ を構成し、合成および単位の整合性を保証する。
• $$\mathbf{ChVect}$$ のようなデカルトでないモノイダル圏を用いた豊密化により、従来の文献に存在しなかった線形版のセガールカテゴリを提供する。
• ヒシュヴィッツ＝シンプソン＝タムサミのセガール $$n$$-カテゴリおよびルーリエの $$\Delta_X$$-に基づく豊密化を、双圏的枠組みの中で統一的かつ一般化する。

提案手法

• 豊密化の基礎構造として、ベナブーの双圏およびそれらの間の準同型を用いる。
• ホモトープ的双圏におけるセガール条件を満たす神経的構成により、セガール $$\mathscr{M}_{\mathscr{W}}$$-カテゴリを定義する。
• $$\mathscr{W}$$ における射のクラスを逆にする操作により、局所化された双圏 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ を構成し、局所化関手 $$\mathcal{L}_{\mathscr{W}}$$ を用いる。
• 局所化の普遍性を用いて、$$\mathscr{M}$$ からの合成および単位写像を $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ に持ち上げる。
• 垂直な面の可換性を用いた立方体図式により、局所化された設定における結合則および単位則の整合性を検証する。
• 関手および自然変換に関して $$\overline{F \times G} = \overline{F} \times \overline{G}$$ という性質に依拠することで、合成における整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レインスタインのホモトピー的モノイドの概念を、複数の対象を持つ設定にどのように一般化できるか？
• RQ2 セガールの高次カテゴリへのアプローチは、非デカルトモノイダル圏における双圏的豊密化を用いて、非デカルトモノイダル圏へ拡張可能か？
• RQ3 弱同値のクラス $$\mathscr{W}$$ を備えた双圏 $$\mathscr{M}$$ の局所化が、豊密化カテゴリの構造をどのように保つのか？
• RQ4 $$\mathscr{M}$$ における結合則および単位則が、局所化された双圏 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ に持ち上がるための条件は何か？
• RQ5 この枠組みを用いて、特に $$\mathbf{ChVect}$$ 上で線形版のセガールカテゴリを定義することは可能か？

主な発見

• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ の構成により、局所化の普遍性を満たす自然なホモトピー $$\mathcal{L}_{\mathscr{W}}: \mathscr{M} \to \mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ を持つ双圏が得られる。
• 合成写像 $$c_{\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}}(U,V,W)$$ は $$\overline{\mathcal{L}_{\mathscr{W}_{UW}} \circ c_{\mathscr{M}}(U,V,W)}$$ としてwell-definedであり、局所化と整合的であることが保証される。
• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ における結合則の五角形は、$$\mathscr{M}$$ の五角形から誘導され、局所化関手を介した因数分解の一意性により可換である。
• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ における単位則および結合則は、普遍性および $$\overline{F \times G} = \overline{F} \times \overline{G}$$ の整合性により、$$\mathscr{M}$$ から引き継がれる。
• 本フレームワークにより、従来の文献に存在しなかった、$$\mathbf{ChVect}$$ 上の線形セガールカテゴリ構造が提供される。
• 本構成は、古典的な豊密化カテゴリを一般化し、非デカルト設定へのセガール $$n$$-カテゴリの理論を拡張する。