[論文レビュー] Morse actions of discrete groups on symmetric space

Michael Kapovich, Bernhard Leeb+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、ランク1における凸コンパクト性を一般化する、高ランク対称空間上の離散群のモース作用を導入する。幾何的・力学的条件のいくつかの同値性——鋭錐性、極限集合における拡張性、漸近的埋め込み、モース性——を確立し、局所から大域への原理と、モース作用のアルゴリズム的認識を提供する。また、木の等長的 quasi-isometric 埋め込みを用いた、新しい幾何的構成によりシュートキー部分群を構成する。

ABSTRACT

We study the geometry and dynamics of discrete infinite covolume subgroups of higher rank semisimple Lie groups. We introduce and prove the equivalence of several conditions, capturing "rank one behavior'' of discrete subgroups of higher rank Lie groups. They are direct generalizations of rank one equivalents to convex cocompactness. We also prove that our notions are equivalent to the notion of Anosov subgroup, for which we provide a closely related, but simplified and more accessible reformulation, avoiding the geodesic flow of the group. We show moreover that the Anosov condition can be relaxed further by requiring only non-uniform unbounded expansion along the (quasi)geodesics in the group. A substantial part of the paper is devoted to the coarse geometry of these discrete subgroups. A key concept which emerges from our analysis is that of Morse quasigeodesics in higher rank symmetric spaces, generalizing the Morse property for quasigeodesics in Gromov hyperbolic spaces. It leads to the notion of Morse actions of word hyperbolic groups on symmetric spaces,i.e. actions for which the orbit maps are Morse quasiisometric embeddings, and thus provides a coarse geometric characterization for the class of subgroups considered in this paper. A basic result is a local-to-global principle for Morse quasigeodesics and actions. As an application of our techniques we show algorithmic recognizability of Morse actions and construct Morse "Schottky subgroups'' of higher rank semisimple Lie groups via arguments not based on Tits' ping-pong. Our argument is purely geometric and proceeds by constructing equivariant Morse quasiisometric embeddings of trees into higher rank symmetric spaces.

研究の動機と目的

• 高ランク単純リー群の無限体積を持つ「幾何的に良い」離散部分群を同定・特徴付けること。これはランク1における凸コンパクト性を高ランクに一般化するものである。
• 高ランクにおける凸コンパクト性の強力な一般化が欠如している問題を解決し、『ランク1の性質』を捉える複数の条件の同値性を導入・証明すること。
• geodesic フロー や ピンポン論法に依存しない、粗い幾何的特徴づけを、モース準地図とモース作用を通じて与えること。
• 局所的な幾何的条件に基づく有限チェック手順により、モース作用のアルゴリズム的同定を確立すること。
• 古典的なピンポンに依存しない、完全に幾何的で木に基づく quasi-isometric 埋め込みを用いて、高ランクリー群におけるモースシュートキー部分群を構成すること。

提案手法

• 高ランク対称空間におけるモース準地図の概念を導入し、グロモフ双曲空間におけるモース性の一般化とする。
• モデル球面単体内の面 $\tau_{\text{mod}}$ の星近傍を exhaustion する Weyl-凸コンパクト集合の列 $\Theta_i$ を用いて、モース準地図に対する局所から大域への原理を構築する。
• 定理7.2の関数 $l(\Theta, \Theta', \delta)$ と $\epsilon(\Theta, \Theta', \delta)$ を用いて、準地図の四重条件に対する局所的制御を定義する。
• スケールを増加させるごとに四重条件を一様に制御できる再帰的列 $S_i$ を構成し、アルゴリズム的検証を可能にする。
• 群 $\Gamma$ の離散的経路と、その軌道写像 $f: \Gamma \to \Gamma x \subset X$ による像を用い、有限長の地図に対して $(\Theta_i, \epsilon_i, l_i, S_i)$-四重条件をチェックする。
• モース作用と漸近的埋め込み部分群の同値性を応用し、構造的安定性と一様正則性を証明する。これはスーリヴァンの定理を高ランクに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランク対称空間において、凸コンパクト性を保存するような性質を保ちつつ、ランク1における性質を一般化する条件は何か？
• RQ2 群の geodesic フロー に依存しない形で、離散部分群のアナソフ条件を再定式化することは可能か？
• RQ3 高ランク対称空間におけるモース準地図は、局所的条件によって特徴づけられ、アルゴリズム的検出が可能か？
• RQ4 古典的なティーツ・ピンポン補題を用いずに、高ランクリー群におけるモースシュートキー部分群を構成することは可能か？
• RQ5 離散部分群の軌道写像の粗い幾何と、無限遠における力学的性質との関係は何か？

主な発見

• 高ランク対称空間上で作用する離散部分群のモース条件は、鋭錐性、極限集合における拡張性、漸近的埋め込みと同値であり、統一的な特徴づけを提供する。
• アナソフ条件は、より簡素でフローに依存しない形に再表現され、モース性と同値であることが示され、その適用範囲が拡張される。
• モース準地図に対して局所から大域への原理が成り立ち、離散的経路に対する有限チェックにより、モース作用のアルゴリズム的認識が可能になる。
• アルゴリズムは、作用がモースである場合に限り停止する。モース作用では停止が保証され、非モース作用では無限に実行が続く。
• モース作用は構造的安定で一様に正則である。これはスーリヴァンの構造的安定性定理を高ランクに一般化する。
• 高ランクリー群におけるシュートキー部分群は、木の等長的モース quasi-isometric 埋め込みを用いた、完全に幾何的でピンポンに依存しない方法により構成可能である。