[論文レビュー] Morse decomposition for D-module categories on stacks

Kevin McGerty, Thomas Nevins|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、商スタックで被覆される滑らかな代数的スタック上のねじれD加群圏に対して、余接スタックのKirwan- Ness分離を用いて圏的モーツァル分解を確立する。微分可能部分層の商層に微分可能に支持された部分層の再統合構造を示し、関手の新たな有限性および存在性の性質を導入することで、Hochschildホモロジーを介したハイパーカイレルおよび代数的シンプレクティック商における修正されたKirwan全射性が得られる。

ABSTRACT

Let Y be a smooth algebraic stack exhausted by quotient stacks. Given a Kirwan-Ness stratification of the cotangent stack T^*Y, we establish a recollement package for twisted D-modules on Y, gluing the category from subquotients described via modules microsupported on the Kirwan-Ness strata of T^*Y. The package includes unusual existence and "preservation-of-finiteness'' properties for functors of the full category of twisted D-modules, extending the standard functorialities for holonomic modules. In the case that Y = X/G is a quotient stack, our results provide a higher categorical analogue of the Atiyah-Bott--Kirwan--Ness "equivariant perfection of Morse theory'' for the norm-squared of a real moment map. As a consequence, we deduce a modified form of Kirwan surjectivity for the cohomology of hyperkaehler/algebraic symplectic quotients of cotangent bundles.

研究の動機と目的

• 余接スタックのKirwan-Ness分離を用いて、スタック上のねじれD加群の圏的モーツァル分解を構築すること。
• 導来圏のD加群の圏をKN分離上の微分可能に支持された部分層の商層に分解する再統合構造を確立すること。
• 非有界導来圏設定における関手（例：$j_*$, $j^*$）の新たな存在性および有限性の性質を証明し、特徴的関手の性質を一般化すること。
• HochschildホモロジーおよびKirwan写像を介して、ハイパーカイレルおよび代数的シンプレクティック商のコホロロジー的帰結を導出すること。
• D加群の文脈において、実数的モーメント写像のノルム二乗関数の等置換モーツァル理論の高次圏的類似を提供すること。

提案手法

• 滑らかなスタック $ancyscript{Y}$ が商スタック $X/G$ で被覆されるとき、その余接スタック $T^*ancyscript{Y}$ に対するKirwan-Ness分離を用いる。
• 微分可能に支持された対象の部分圏を閉じた分離の和集合に含む ${ancyscript{D}}(ancyscript{Y},c)$ の商として、微分可能圏 ${ancyscript{D}}(ancyscript{U},c)$ を定義する。
• 開および閉包含のための随伴関手を用いて再統合構造を構成する：$j^*: {ancyscript{D}}({ancyscript{U}},c) o {ancyscript{D}}({ancyscript{U}}^ullet,c)$, $j_*$, $i_*$, および $i^!$。
• 右随伴関手 $j_*$ がD加群のコンパクト性および整合性を保存することを証明し、特徴的ケースにおける既存結果を拡張する。
• 導来圏にHochschildホモロジーを適用し、トレース関手および双対性を用いて $HH_*({ancyscript{D}}({ancyscript{U}},c))$ をシンプレクティック商のde Rhamコホモロジーに関連付ける。
• ${ancyscript{W}}$-代数の降下を用いて、$HH_*({ancyscript{D}}(X/G)) o H^*_{dR}(I(X)/G)$ の同一視を活用し、Hochschildホモロジーを $ancyscript{Y}^{ss}/G$ のコホモロジーに結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてD加群のスタック上での等置換モーツァル理論を、圏的分解を用いて拡張できるか？
• RQ2 非有界導来圏における押し出しおよび制限関手（例：コンパクト性および整合性の保存）に成り立つ関手的性質は何か？
• RQ3 ハイパーカイレルおよび代数的シンプレクティック商の文脈において、D加群圏を用いてKirwan全射定理を一般化または修正できるか？
• RQ4 スタック上のD加群圏のHochschildホモロジーは、どのようにしてシンプレクティック商のde Rhamコホモロジーを反映するか？
• RQ5 D加群の微分可能構造は、余接スタックのKirwan-Ness分離とどのように関係するか？

主な発見

• 本論文は、$T^*ancyscript{Y}$ のKirwan-Ness分離上の微分可能に支持された部分層の商層による分解を介して、スタック上のねじれD加群の再統合構造を確立する。
• $j_*$ は制限の右随伴であり、D加群のコンパクト性および整合性を両方保存する。これは特徴的ケースを越えた非自明な拡張である。
• 制限関手 $j^*$ はHochschildホモロジー上で全射を引き起こす。これは $j^* o j_!$ がホモトピー逆写像であることを通じて示される。
• ${ancyscript{D}}(X/G)$ のHochschildホモロジーは、インertiaスタック $I(X)/G$ のde Rhamコホモロジーと同型であり、シフト $HH_k o H^*_{dR}^{2n-k}$ を伴う。
• 導来圏 ${ancyscript{D}}(T^*X^{ss}/G)$ は、$ancyscript{Y}^{ss}/G$ 上の${ancyscript{W}}$-代数上の加群の導来圏と同値であり、コホモロジー計算が可能になる。
• 修正されたKirwan全射性が導かれる：Kirwan写像 $H^*_{G}(X) o H^*(X^{ss}/G)$ は、D加群圏のHochschildホモロジーに移行することで全射となる。これはシンプレクティック商の幾何を反映する。