[論文レビュー] Morse structures on open books

Joan E. Licata|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、開帳分解におけるパrameterized モース理論の枠組みを導入し、トーラス上のラベル付きグラフを用いて接触トポロジーを符号化することで、任意の閉接触3次元多様体へのレジェンドリアンフロントプロジェクションの一般化を実現する。これは、リードマイスター移動の完全な組み合わせ的移動のセットを拡張し、フロント図からスチュワート＝ベンヌイン不変量を計算するための公式を提供する。

ABSTRACT

We use parameterized Morse theory on the pages of an open book decomposition to efficiently encode the contact topology in terms of a labelled graph on a disjoint union of tori (one per binding component). This construction allows us to generalize the notion of the front projection of a Legendrian knot from the standard contact $\mathbb{R}^3$ to arbitrary closed contact $3$-manifolds. We describe a complete set of moves on such front diagrams, extending the standard Legendrian Reidemeister moves, and we give a combinatorial formula to compute the Thurston-Bennequin number of a nullhomologous Legendrian knot from its front projection.

研究の動機と目的

• 標準接触R³からのレジェンドリアン絡み目のフロントプロジェクション形式主義を、任意の閉接触3次元多様体へと拡張すること。
• 開帳分解から導かれるラベル付きトーラス上のグラフを用いた接触構造の組み合わせ的符号化の開発。
• この新しいフロント図フレームワークに適した、レジェンドリアンリードマイスター移動の一般化。
• フロント図の組み合わせ的データから、同調的でないレジェンドリアン絡み目のスチュワート＝ベンヌイン不変量を直接計算するための組み合わせ的公式の提供。

提案手法

• 開帳分解のページにパrameterized モース理論を適用し、トポロジカルデータを抽出する。
• バインディング成分ごとに1つのトーラスを割り当て、それらの直和に沿ったラベル付きグラフを構成し、接触構造を表現する。
• モース関数の臨界点と勾配軌道を用いて、開帳におけるレジェンドリアン絡み目のフロントプロジェクションを符号化する。
• 標準的なレジェンドリアンリードマイスター移動を一般化する、フロント図における局所的移動の集合を定義する。
• 開帳分解を通じて、フロント図と接触トポロジーの間の対応関係を確立する。
• フロント図の組み合わせ的データに基づいて、スチュワート＝ベンヌイン不変量の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レジェンドリアン絡み目のフロントプロジェクションは、標準接触R³を超えて、任意の閉接触3次元多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 一般接触3次元多様体におけるレジェンドリアン絡み目の同倫的移動に対応する、フロント図における組み合わせ的移動は何か？
• RQ3 一般接触3次元多様体におけるフロント図から、直接的にスチュワート＝ベンヌイン不変量を計算する方法は何か？
• RQ4 パrameterized モース理論は、開帳分解を介して接触構造を符号化するために果たす役割は何か？
• RQ5 トーラス上のラベル付きグラフの構成は、接触トポロジーとレジェンドリアン不変量を完全に捉えられるか？

主な発見

• 本稿は、開帳分解を用いて、すべての閉接触3次元多様体におけるレジェンドリアン絡み目のフロントプロジェクションを成功裏に一般化した。
• 標準的なレジェンドリアンリードマイスター移動をこの新しいフロント図フレームワークに拡張する、完全な組み合わせ的移動のセットが導入された。
• パrameterized モース理論を介して、接触構造を符号化する、直和に沿ったトーラス上のラベル付きグラフが得られた。
• 同調的でないレジェンドリアン絡み目のスチュワート＝ベンヌイン不変量を、フロント図の組み合わせ的データから直接計算するための組み合わせ的公式が導出された。
• 本手法は、任意の閉接触3次元多様体におけるレジェンドリアン絡み目と接触構造を、図式的かつ組み合わせ的ツールを用いて体系的に研究するための方法を提供する。