[論文レビュー] Mosco Type Convergence and Weak Convergence for a Fleming-Viot type Particle System

Jörg‐Uwe Löbus|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかな境界をもつ有界な $d$-次元領域における非対称 $n$-粒子フレ밍・ヴィオット系について、初期測度および生成作用素に関する部分積分を用いて、モスコ型収束および弱収束を確立する。主な貢献は、スコロホド空間 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ における相対的コンパクト性の証明と、測度値過程 $X^n_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta_{(X_i)_t}$ の弱収束を示し、有限次元の部分積分と無限次元の微積分を用いて収束を確立する。

ABSTRACT

We are concerned with Mosco type convergence for a non-symmetric $n$-particle Fleming-Viot system $\{X_1,\ldots,X_n\}$ in a bounded $d$-dimensional domain $D$ with smooth boundary. Moreover, we are interested in relative compactness of the $n$-particle processes. It turns out that integration by parts relative to the initial measure and the generator is the appropriate mathematical tool. For finitely many particles, such integration by parts is established by using probabilistic arguments. For the limiting infinite dimensional configuration we use a result from infinite dimensional non-gaussian calculus.

研究の動機と目的

• 有界な $d$-次元領域（滑らかな境界を有する）における $n$-粒子フレミング・ヴィオット系について、モスコ型収束および相対的コンパクト性を確立すること。
• $n \to \infty$ のとき、測度値過程 $X^n_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta_{(X_i)_t}$ がスコロホド空間 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ 内で弱収束することを分析すること。
• 有限 $n$ に対する極限定理を用いて、ジャンプオフ位置およびジャンプ距離の極限挙動を特定すること。
• $n$-粒子過程に対して生成作用素および初期測度に関する有限次元部分積分を確立・応用すること。
• 有限次元の結果を無限次元極限に拡張するために、無限次元空間における非ガウス型微積分を用いること。

提案手法

• $n$-粒子系に対して中心的な解析的道具として、初期測度および生成作用素に関する部分積分を用いる。
• 特に命題 5.3(a) において、$n < \infty$ の場合の有限次元部分積分を確立するための確率的議論を適用する。
• 極限における無限次元の非ガウス型微積分を用いて、無限次元構成の取り扱いを行う。
• $E = {\rm M}_{\partial}(\overline{D})$（$D$ で一致する $\overline{D}$ 上の確率測度の同値類の空間）を用いたスコロホド空間 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ を用い、技術的条件 (c7) を満たすようにする。
• 弱収束の全過程の確立に、[12] の補題 2.9 に類似した有限次元分布の弱収束を用いる。
• $z(t) = \int_D \int_D p(t,x,y)\mu(dx)\,dy$ である $v(t,y) = \frac{1}{z(t)}\int_D p(t,x,y)\mu(dx)$ の表現を適用し、極限軌道が非線形放物型方程式 $\frac{\partial}{\partial t}v = \frac{1}{2}\Delta v - \frac{z'(t)}{z(t)}v$ を満たし、境界条件 $v(t,x)|_{\partial D} = 0$ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \to \infty$ のとき、$n$-粒子フレミング・ヴィオット過程はスコロホド空間 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ においてモスコ型収束および相対的コンパクト性を示すか？
• RQ2 一般の初期測度のもとで、測度値過程 $X^n_t$ が極限過程 $X_t$ に弱収束するか？特に、極限が非線形PDEを満たす場合に有効か？
• RQ3 $n \to \infty$ のとき、$n$-粒子系のジャンプオフ位置およびジャンプ距離の極限挙動は何か？
• RQ4 有限 $n$ に対して、生成作用素および初期測度に関する部分積分をどのように厳密に確立できるか？また、それが収束結果をどのように支援するか？
• RQ5 無限次元非ガウス型微積分は、有限次元結果を無限次元極限に拡張する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、スコロホド空間 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ 内で $n$-粒子過程 $X^n_t$ のモスコ型収束および相対的コンパクト性を確立し、適切な条件下で弱収束を示す。
• 測度値過程 $X^n_t$ の弱収束は、有限次元分布の弱収束を用いて証明され、[12] の結果および第7節の最終的注意 (1) を活用する。
• 極限過程 $X_t$ の軌道 $v(t,x)\,dx$ は非線形PDE $\frac{\partial}{\partial t}v = \frac{1}{2}\Delta v - \frac{z'(t)}{z(t)}v$ を満たし、境界条件 $v(t,x)|_{\partial D} = 0$ および初期条件 $v(0,x)\,dx = \mu$ を満たす。ここで $z(t) = \int_D \int_D p(t,x,y)\mu(dx)\,dy$ である。
• 命題 3.2(a) および (b) は、$n \to \infty$ のときのジャンプオフ位置およびジャンプ距離の極限定理を提供し、粒子系の漸近的挙動を特定する。
• 命題 5.3(a) の有限次元部分積分結果は、命題 5.3(b) および (c) の収束証明を可能にする主要な技術的道具であり、モスコ型収束の確立に不可欠である。
• $\mathbb{E}_{\boldsymbol{\nu}_n} e^{-\beta \tau_{B^c}} \leq \varepsilon_n$ かつ $\varepsilon_n \to 0$ が $n \to \infty$ のとき成り立つことを示し、条件 (c8) を確認し、相対的コンパクト性を支援する。