[論文レビュー] Motion of level sets by inverse anisotropic mean curvature

Francesco Della Pietra, Nunzia Gavitone+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Finsler-$p$-Laplacian近似法を用いて、逆異方的平均曲率流れ（IAMCF）の弱解の存在および一意性を確立する。IAMCFに関連する退化楕円型方程式を正則化し、$p \to 1^+$ の極限をとることで、初期異方的平均曲率に関連する勾配評価を満たす、適切な弱解 $u \in C^{0,1}_{\textrm{loc}}(\overline{\Omega})$ の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper we consider the weak formulation of the inverse anisotropic mean curvature flow, in the spirit of Huisken-Ilmanen. By using approximation method involving Finsler-p-Laplacian, we prove the existence and uniqueness of weak solutions.

研究の動機と目的

• Huisken-Ilmanenの逆平均曲率流れの弱定式化をレベルセットアプローチを用いて異方的設定へ拡張すること。
• Huisken-Ilmanen理論の精神に則り、逆異方的平均曲率流れ（IAMCF）に対する弱解の存在を確立すること。
• 異方的状況における標準的楕円型正則化の欠如を克服するため、Finsler-$p$-Laplacianを用いた正則化近似スキームを開発すること。
• 近似解について、$p \to 1^+$ のときの一様勾配評価を証明し、弱解への収束を保証すること。
• 初期異方的平均曲率 $H_F^+$ にかかわる、異方的勾配 $F(\nabla u)$ に対する事前評価を導出すること。

提案手法

• IAMCFを退化楕円型PDEとして定式化：$\operatorname{div}(F_\xi(\nabla u)) = F(\nabla u)$、$\partial\Omega$ で $u=0$、$|x| \to \infty$ のとき $u \to \infty$。
• Finsler-$p$-Laplacian方程式による近似を導入：$\Omega$ 内で $\operatorname{div}(F^{p-1}(\nabla u) F_\xi(\nabla u)) = F(\nabla u)^p$、$\partial\Omega$ で $u=0$、無限遠で $u \to \infty$。
• 変分法およびPDE技法を用いて、各 $p > 1$ に対して近似問題の解 $u_p$ の存在および $C^{1,\alpha}$ 正則性を証明する。
• 各 $p$ が 1 に近いとき、$p$ に依存しない $\overline{\Omega}$ 内で $F(\nabla u_p) \leq \sup_{\partial\Omega} H_F^+ + \varepsilon$ となる一様勾配評価を確立する。
• Arzelà-Ascoliの定理を適用して、$p_k \to 1^+$ のとき、$u_{p_k} \to u$ がコンパクト集合上で一様収束する部分列を抽出する。
• エネルギー汎関数 $J^{p}_{u_p}(\varphi)$ の極限をとることで、極限 $u$ が定義1の意味でIAMCFの弱定式化を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Huisken-Ilmanen型の弱解理論を逆異方的平均曲率流れへ拡張することは可能か？
• RQ2 異方的状況における標準的楕円型正則化の欠如が、弱解の構成を妨げるか？
• RQ3 Finsler-$p$-Laplacianは、$p \to 1^+$ のとき、IAMCFの有効な近似スキームを提供できるか？
• RQ4 近似列において、$F(\nabla u_p)$ に対する一様勾配評価が $p$ に依存せず達成可能か？
• RQ5 近似解の極限が弱定式化を満たし、適切さおよび勾配評価を保つのか？

主な発見

• 逆異方的平均曲率流れに対して、一意的な適切な弱解 $u \in C^{0,1}_{\textrm{loc}}(\overline{\Omega})$ が存在し、$\partial\Omega$ で $u=0$ を満たす。
• 解はすべての $x \in \overline{\Omega}$ に対して $F(\nabla u(x)) \leq \sup_{\partial\Omega} H_F^+$ を満たす勾配評価を満たす。
• 解はすべての $x \in \partial\Omega$ に対して点ごとの評価 $F(\nabla u(x)) \leq H_F^+(x)$ を満たす。
• 各 $p > 1$ に対して、近似問題は一意な解 $u_p \in C^{1,\alpha}_{\textrm{loc}}(\overline{\Omega})$ を持ち、一様勾配評価 $F(\nabla u_p) \leq \sup_{\partial\Omega} H_F^+ + \varepsilon$ を満たす。
• $p \to 1^+$ のとき、列 $u_p$ はコンパクト集合上で弱解 $u$ に一様収束する。
• 弱解はFinsler-$p$-Laplacianによる近似の極限として得られ、近似とコンパクトネスを用いた存在証明がなされる。