[論文レビュー] Motives over simplicial schemes

Vladimir Voevodsky|ArXiv.org|May 28, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完璧体 $ k $ 上の滑らかさをもつ単体的スキーム $ \cal X $ の上での有効モチーフのテンソル三角分類 $ DM^{eff}_{-}({\cal X}) $ を導入し、$ H^{p,q}({\cal X},A) = \text{Hom}_{DM^{eff}({\cal X})}(\mathbb{Z}, A(p)[q]) $ を通じてモチーフコホモロジーの統一的定義を可能にする。主な貢献は、ブロッハ＝カト予想の証明に不可欠な単体的設定におけるモチーフコホモロジーの枠組みを確立したことであり、特に対象的でない場合における有効コホモロジーと安定コホモロジーの明確な区別がなされている。

ABSTRACT

In this paper we define the triangulated category of motives over a simplicial scheme. The morphisms between the Tate objects in this category compute the motivic cohomology of the underlying scheme. In the last section we consider the special case of "embedded" simplicial schemes, which correspond to the subsheaves of the constant sheaf and naturally appear in the descent problems for motivic cohomology such as the Bloch-Kato conjecture.

研究の動機と目的

• 完璧体 $ k $ 上の滑らかな単体的スキーム $ \cal X $ の上での有効モチーフのテンソル三角分類 $ DM^{eff}_{-}({\cal X}) $ を定義し、滑らかでないスキームにまで一般化されたモチーフコホモロジーを扱う。
• 単体的スキームに対して $ H^{p,q}({\cal X},A) = \text{Hom}_{DM^{eff}({\cal X})}(\mathbb{Z}, A(p)[q]) $ を通じて、モチーフコホモロジーの一貫性ある定義を提供し、滑らかな場合の既知の結果と整合性を持つようにする。
• 正則でない場合において、有効モチーフコホモロジーと安定モチーフコホモロジーを区別し、特にスパンション同型が成り立たない場合に、安定コホモロジーがギジン系列などのより良い性質を満たすことを示す。
• 特にヴォエヴォズキーの仕事の文脈において、ブロッハ＝カト予想の証明に用いられる、単体的スキーム上のモチーフの基礎的枠組みを構築する。

提案手法

• 単体的スキーム $ \cal X $ 上の、移動を持つ前層の複体の圏の局域化として、テンソル構造と移動を用いて、カテゴリ $ DM^{eff}_{-}({\cal X}) $ を構成する。
• 滑らかな単体的スキーム $ \cal X $ のモチーフ $ M({\cal X}) $ を、$ \mathbb{Z}_{tr}({\cal X}) $ としての移動を持つ前層の複体と定義し、これは $ DM_{-}^{eff}(k) $ に属する。
• $ Sm/{\cal X} $ 上の前層と、$ {\cal X}_i $ 上の移動を持つ前層の族 $ (F_i, F_\phi) $ の間の双対性を確立し、面および退化写像と整合性を持つ。
• $ Sm/{\cal X} $ のカテゴリを導入し、その対象は $ Y \to {\cal X}_i $ が滑らかであるようなペア $ (Y,i) $ であり、射には単体的写像と整合性を持つスキームの射が含まれる。
• 忘却関手とその左随伴 $ \mathbb{Z}_{tr}(-) $ を用いて、スキームから単体的スキームへの移動を持つ前層の構造を昇格させる。
• 三角分類圏における内部ホム対象の理論を適用し、双対を定義し、カテゴリ $ DM^{eff}_{-}({\cal X}) $ が適切に定義されたテンソル三角分類構造を備えていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的スキームに対して、特に正則性の欠如する場合に、モチーフコホモロジーを一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 モチーフコホモロジーが $ \text{Hom}_{DM^{eff}({\cal X})}(\mathbb{Z}, A(p)[q]) $ を通じて得られるような、テンソル三角分類構造を備えた単体的スキーム上の適切なモチーフのカテゴリは何か？
• RQ3 有効モチーフコホモロジー群が正則でない場合にスパンション同型を満たさないのはなぜであり、その性質を回復させるために安定モチーフコホモロジーをどのように定義できるか？
• RQ4 単体的スキーム上のモチーフの構成が、元のスキームの滑らかさにどの程度依存するか。また、その依存関係が標準的モチーフ的性質の有効性にどのように影響するか？
• RQ5 モチーフと移動の枠組みをスキームから単体的スキームへ拡張することは可能か。その拡張が、ブロッハ＝カト予想の証明に必要な技術的要件を満たすようにできるか？

主な発見

• 本稿は、任意の完璧体 $ k $ 上の滑らかな単体的スキーム $ \cal X $ に対して、テンソル三角分類圏 $ DM^{eff}_{-}({\cal X}) $ を構成し、モチーフコホモロジーが $ H^{p,q}({\cal X},A) = \text{Hom}_{DM^{eff}({\cal X})}(\mathbb{Z}, A(p)[q]) $ で与えられることを示し、統一的な定義を可能にする。
• 正則でない場合、有効モチーフコホモロジーはスパンション同型を満たさず、したがって射影バンドルの公式やギジンの完全系列も成り立たない。
• 安定モチーフコホモロジーは $ H^{p,q}_{stable}({\cal X},A) = \varinjlim_n \text{Hom}_{DM^{eff}({\cal X})}(\mathbb{Z}(n), A(n+q)[p]) $ として定義され、ギジン系列のような望ましい性質を満たす。
• 滑らかで正則な項を持つ単体的スキームでは、キャンセレーション定理により、安定コホモロジーと有効コホモロジーが一致するため、区別は正則でない場合にのみ重要である。
• この構成は基底変換に関して安定であり、移動を持つ前層の構造を保ち、既存のモチーフホモトピー論と整合性を持つ。
• 本稿は、カテゴリ $ DM^{eff}_{-}({\cal X}) $ が内部ホム対象を備え、適切に定義されたシフト関手を備えていることを確立し、三角分類的およびテンソル的構造が正しく保たれていることを確認している。