[論文レビュー] Motivic Chern classes of Schubert cells, Hecke algebras, and applications to Casselman's problem

Paolo Aluffi, Leonardo C. Mihalcea+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 49被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、旗多様体のK理論におけるDemazure-Lusztig作用素を用いたヘッケ代数による、シューベルト胞体のモチビックコホーモロジー類を計算し、点から再帰的に構成することを確立する。これらの類がオクウンコフらが定義したK理論的安定包と同値であることを証明し、バンプ、中曽路、 Naruseの、標準基底とカスラマン基底の間の変換係数の因子分解および正則性に関する2つの予想を解消する。

ABSTRACT

Motivic Chern classes are elements in the K-theory of an algebraic variety $X$, depending on an extra parameter $y$. They are determined by functoriality and a normalization property for smooth $X$. In this paper we calculate the motivic Chern classes of Schubert cells in the (equivariant) K-theory of flag manifolds $G/B$. We show that the motivic class of a Schubert cell is determined recursively by the Demazure-Lusztig operators in the Hecke algebra of the Weyl group of $G$, starting from the class of a point. The resulting classes are conjectured to satisfy a positivity property. We use the recursions to give a new proof that they are equivalent to certain K-theoretic stable envelopes recently defined by Okounkov and collaborators, thus recovering results of Fehér, Rimányi and Weber. The Hecke algebra action on the K-theory of the Langlands dual flag manifold matches the Hecke action on the Iwahori invariants of the principal series representation associated to an unramified character for a group over a nonarchimedean local field. This gives a correspondence identifying the duals of the motivic Chern classes to the standard basis in the Iwahori invariants, and the fixed point basis to Casselman's basis. We apply this correspondence to prove two conjectures of Bump, Nakasuji and Naruse concerning factorizations and holomorphy properties of the coefficients in the transition matrix between the standard and the Casselman's basis.

研究の動機と目的

• 旗多様体 G/B のG-equivariant K理論におけるシューベルト胞体のモチビックコホーモロジー類を計算すること。
• ヘッケ代数におけるDemazure-Lusztig作用素を用いた再帰的公式を、これらの類に対して確立すること。
• シューベルト胞体のモチビックコホーモロジー類が、オクウンコフらが定義したK理論的安定包と同値であることを証明すること。
• ラングランス双対旗多様体上のヘッケ代数作用と非アーチメデス的局所体の主系列表現のIwahori不変量の間の対応を応用し、カスラマン基底に関する予想を解消すること。
• Iwahori不変量における標準基底とカスラマン基底の間の変換係数の因子分解および正則性の性質を検証すること。

提案手法

• シューベルト胞体のモチビックコホーモロジー類は、点のK理論的類にDemazure-Lusztig作用素の作用を再帰的に適用することで計算される。
• 再帰的構成が、最近オクウンコフらが定義したK理論的安定包によって生成される類と一致することを示した。
• ラングランス双対旗多様体のK理論におけるヘッケ代数作用は、非可分特徴の非アーチメデス的局所体の主系列表現のIwahori不変量の作用と一致する。
• モチビックコホーモロジー類の双対とIwahori不変量における標準基底との間に双対性を確立し、固定点類とカスラマン基底との間に双対性を確立した。
• この対応を用いて、標準基底とカスラマン基底の間の変換行列係数が正則的であり、有理関数の積に因子分解されることを証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シューベルト胞体のモチビックコホーモロジー類は、どのようにヘッケ代数作用を用いて計算できるか？
• RQ2 シューベルト胞体のモチビックコホーモロジー類は、K理論的安定包と同値か？
• RQ3 ラングランス双対旗多様体上のヘッケ代数作用と主系列表現のIwahori不変量との間の正確な対応は何か？
• RQ4 標準基底とカスラマン基底の間の変換行列係数は、因子分解および正則性の性質を満たすか？
• RQ5 モチビックコホーモロジー類とIwahori不変量との双対性は、これらの係数に関する未解決の予想を解消するために利用可能か？

主な発見

• シューベルト胞体のモチビックコホーモロジー類は、点の類から出発し、ヘッケ代数におけるDemazure-Lusztig作用素を再帰的に作用させることで決定される。
• 得られたモチビックコホーモロジー類は、オクウンコフらが定義したK理論的安定包と同値であることが証明された。
• ラングランス双対旗多様体のK理論におけるヘッケ代数作用は、非可分特徴の非アーチメデス的局所体の主系列表現のIwahori不変量の作用と一致する。
• モチビックコホーモロジー類の双対はIwahori不変量における標準基底に対応し、固定点類はカスラマン基底に対応する。
• 本論文は、バンプ、中曽路、 Naruseの2つの予想を証明した：標準基底とカスラマン基底の間の変換行列係数は正則的であり、有理関数の積に因子分解される。