[論文レビュー] Characteristic classes of mixed Hodge modules

Joerg Schuermann|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 60被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、Saitoの理論を基盤として、混合Hodgeモジュールの特徴類に対するK理論的枠組みを導入し、ねじれToddクラス変換を介してモチビックチャーン類とヒルツェブルッフ類を統一する。関手的性質、双対性、特化性を確立し、モチビックヒルツェブルッフ類変換が y = -1, 0, 1 においてそれぞれチャーン、Todd、L-類変換を統一することを示している。

ABSTRACT

This paper gives an introduction and overview about recent developments on the interaction of the theories of characteristic classes and mixed Hodge theory for singular spaces in the complex algebraic context. It uses M. Saito's deep theory of mixed Hodge modules as a "black box", thinking about them as "constructible or perverse sheaves of Hodge structures", having the same functorial calculus of Grothendieck functors. For the "constant Hodge sheaf", one gets the "motivic characteristic classes" of Brasselet-Schuermann-Yokura, whereas the classes of the "intersection homology Hodge sheaf" were studied by Cappell-Maxim-Shaneson. There are two versions of these characteristic classes. The K-theoretical classes capture information about the graded pieces of the filtered de Rham complex of the filtered D-module underlying a mixed Hodge module. Application of a suitable Todd class transformation then gives classes in homology. These classes are functorial for proper pushdown and exterior products, together with some other properties one would expect for a "good" theory of characteristic classes for singular spaces. For "admissible variation of mixed Hodge structures" they have an explicit classical description in terms of "logarithmic de Rham complexes". On a point space they correspond to a specialization of the Hodge polynomial of a mixed Hodge structure, which one gets by forgetting the weight filtration.

研究の動機と目的

• 特異な複素代数的多様体のための特徴類の関手的理論を、混合Hodgeモジュールを用いて開発すること。
• Saitoの理論に基づくK理論的枠組みを用いて、モチビックチャーン類変換とヒルツェブルッフ類変換を統一すること。
• 特に y = -1 において、古典的不変量（例えばチャーン類）と関連する特徴類の特化性質を確立すること。
• 特異空間へのHodge特徴類への一般化において、なぜ重みフィルトレーションが無視されるのかを明確にすること。
• 明示的な公式を通じて、混合Hodgeモジュールの特徴類をインデックス定理、シグネチャ、楕円的生成関数と結びつけること。

提案手法

• M. Saitoの混合Hodgeモジュール理論を「ブラックボックス」として扱い、Grothendieckの関手的計算を用いて、Hodge構造の局所定義可能層または perverse sheaf としての構造を扱う。
• 2種類の特徴類を定義する：K理論的モチビックチャーン類変換 $MHC_y$ と、ねじれToddクラス変換 $td_{(1+y)}$ を通じたそのホモロジー的双対 $MHT_{y*}$。
• 関係 $MHC_y$ と $MHT_{y*}$ を結ぶために、ねじれチャーン写像 $ch^{(1+y)}$ を用い、古典的不変量への特化を可能にする。
• モチビック特徴類変換 $T_{y*} = MHT_{y*} \times \chi_{Hdg}$ を用いて、値が $H_*(Z) \otimes \mathbb{Q}[y^{\pm 1}]$ に属することを示し、$y = -1$ における特化がwell-definedであることを保証する。
• 特異点の解消と、Grothendieck群 $M_0(Var/Z)$ における加法性を用いて、証明を滑らかな多様体とラインバンドルに還元する。
• 正規化条件：$T_{y*}([id_N]) = T_y^*(TN) \cap [N]$ および $T_{-1*}([id_N]) = c^*(TN) \cap [N] = c_*(1_N)$ を用い、既知の不変量と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Saitoの混合Hodgeモジュール理論を用いて、混合Hodgeモジュールの特徴類を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 モチビックチャーン類 $MHC_y$ とモチビックヒルツェブルッフ類 $MHT_{y*}$ の正確な関係は何か？ そして、それらが古典的特徴類をどのように統一するのか？
• RQ3 特異空間へのHodge特徴類への一般化において、なぜ重みフィルトレーションが無視されるのか？
• RQ4 $MHT_{y*}$ の $y = -1$ における特化が存在する条件は何か？ そして、それはチャーン類とどのように関係するか？
• RQ5 混合Hodgeモジュールの文脈において、特徴類は固有押し出し、外積、双対性に関してどのように振る舞うか？

主な発見

• モチビックヒルツェブルッフ類変換 $MHT_{y*}$ は、ねじれToddクラス $td_{(1+y)}$ を通じて、$y = -1$ でチャーン類（$y = -1$）、$y = 0$ でTodd類（$y = 0$）、$y = 1$ で$L$-類（$y = 1$）の変換を統一する。
• K理論的モチビックチャーン類 $MHC_y$ は、対応するフィルター付きDモジュールのデル・ラーム複体の各フィルター付き部分のgradedな成分の情報を捉えている。
• $MHT_{y*}([j_*\mathbb{V}])$ の $y = -1$ における特化は存在し、$c_*(rk(L) \cdot j_*1_M)$ に等しい。ここで $rk(L)$ は多様体 $M$ 上の局所系統 $L$ のランクである。
• 変換 $T_{y*} = MHT_{y*} \circ \chi_{Hdg}$ は $H_*(Z) \otimes \mathbb{Q}[y^{\pm 1}]$ に値をとるため、$y = -1$ における特化がwell-definedであり、$c_*$ と整合することが保証される。
• 滑らかな多様体 $N$ に対して、$T_{y*}([id_N]) = T_y^*(TN) \cap [N]$ が成り立ち、$T_{-1*}([id_N]) = c_*(1_N)$ である。これは古典的特徴類と整合することを確認する。
• クラス $MHT_{y*}([j_*\mathbb{V}])$ は $ch^{(1+y)}(MHC_y(Rj_*L)) \cap MHT_{y*}([j_*\mathbb{Q}_M])$ として与えられ、ホモロジー的設定における乗法性と関手的性質を示している。