[論文レビュー] Motivic Homotopy Theory of Algebraic Stacks

Chirantan Chowdhury|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Lurieの∞-圏枠組みとLiu-Zhengの拡張された操作写像を用いて、準分離代数的スタック、商スタック、束縛のモジュライスタックなど広範なクラスの代数的スタックへモチビックホモトピー理論を拡張する。(2,1)-圏 Nis-locSt 上におけるモチビック安定ホモトピー圏 SH⊗_ext に対して六関手形式を確立し、ホモトピー不変性、局所化、純粋性といった重要な性質を証明する。

ABSTRACT

In this thesis, we extend the definition of motivic homotopy theory from schemes to a large class of algebraic stacks and establish a six functor formalism. The class of algebraic stacks that we consider includes many interesting examples: quasi-separated algebraic spaces, local quotient stacks and moduli stacks of vector bundles. We use the language of ∞-categories developed by Lurie to extend the definition of motivic homotopy theory. Morever, we use the so-called 'enhanced operation map' due to Liu and Zheng to extend the six functor formalism from schemes to our class of algebraic stacks. We also prove that six functors satisfy properties like homotopy invariance, localization and purity.

研究の動機と目的

• スキームから広範なクラスの代数的スタックへモチビック安定ホモトピー圏 SH⊗ を拡張すること。
• ∞-圏を用いて代数的スタック上での SH⊗ に対する六関手形式を構成すること。
• モチビックホモトピー理論におけるエタール降下の失敗を解消するために、ニスネヴィッチ局所的セクションをもつ滑らかなアトラスのクラスを同定すること。
• ホモトピー不変性、局所化、純粋性といった主要な性質が拡張形式で成り立つことを証明すること。
• 鈍感性仮定を除いても、商スタックの SH の提示独立な構成を提供すること。

提案手法

• 非関手的トポスに起因する技術的問題を避けるために、Lurieの∞-圏枠組みを用いて降下と関手的性質を扱う。
• ニスネヴィッチ局所的セクションをもつアトラスをもつ代数的スタックの(2,1)-圏 Nis-locSt を導入する。
• LiuとZhengの拡張された操作写像を適用して、スキームから Nis-locSt へ六関手を拡張する。
• ∞-圏的設定において拡張された操作写像をモデル化するために、多重単体的集合および多重タイル付き単体的集合を用いる。
• ニスネヴィッチ局所的セクションをもつ滑らかなアトラスのČechネbicの下での極限として SH⊗_ext を構成する。
• 抽象的降下理論を∞-圏で用いて降下性と関手的性質を証明し、アトラスの選択に依存しないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチビックホモトピー理論は、六関手形式を保ちつつ、スキームから広範なクラスの代数的スタックへ拡張可能か？
• RQ2 モチビックホモトピー理論におけるエタール降下の失敗をどのように乗り越え、代数的スタックの SH を定義できるか？
• RQ3 ∞-圏と拡張された操作を用いて、六関手 f∗, f∗, f!, f!, ⊗, および Hom を代数的スタックへ拡張可能か？
• RQ4 拡張された形式はホモトピー不変性、局所化、純粋性といった基本的性質を満たすか？
• RQ5 特に鈍感性仮定なしに、商スタックの SH の構成は提示の選択に依存しないか？

主な発見

• モチビック安定ホモトピー関手 SH⊗ は、CAlg(PrL_stb) に値をとる ND•(Nis-locSt)op 上の関手 SH⊗_ext へ拡張可能である。
• 拡張形式はモノイド性、射影公式、およびベースチェンジ同型を満たす。
• ホモトピー不変性が成り立つ：π: A1_X → X に対して、π∗ は全単射的である。
• 局所化が成り立つ：開埋め込み i: U → X と閉埋め込み j: Z → X に対して、コボル型列 j!j! → id → i∗i∗ および i!i! → id → j∗j∗ が存在する。
• 純粋性が成り立つ：滑らかで分離的かつ有限型の f: X → Y に対して、自己同型 Twf が存在し、Twf ◦ f! ≅ f∗ が成り立つ。
• 正規バンドルのスティーブンス空間は Th(Nf) ≅ 1Y(d)[2d] ⊗ − を満たし、f#(−) ≅ f!(1X(d)[2d] ⊗ −) が成り立つ。