[論文レビュー] Motivic modular forms from equivariant stable homotopy theory

Nicolas Ricka|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ℝおよびℂ上のモチビックモジュラー形式の細胞的モチビックスペクトラムを構成し、Dan Isaksenの予想を解決する。2段階の手法を用いる：まず、トポロジカルモジュラー形式（tmf）のC₂-equivariant版（tmf_{C₂}）を構築し、次にnilpotent completionを施すモチビック実現関手を適用することで、モチビックスティーナード代数の部分代数（Sq¹, Sq², Sq⁴で生成されるもの）による商を実現するコホモロジーを持つモチビックスペクトラムを構成する。

ABSTRACT

In this paper, we produce a cellular motivic spectrum of motivic modular forms over $\R$ and $\C$, answering positively to a conjecture of Dan Isaksen. This spectrum is constructed to have the appropriate cohomology, as a module over the relevant motivic Steenrod algebra. We first produce a $\G$-equivariant version of this spectrum, and then use a machinery to construct a motivic spectrum from an equivariant one. We believe that this machinery will be of independent interest.

研究の動機と目的

• Spec(ℝ)およびSpec(ℂ)上のモジュラー形式のモチビックスペクトラムを、所望のコホモロジーを持つように構成すること。
• Dan Isaksenが提起した、A¹安定ホモトピー圏におけるモチビックtmfスペクトラムの存在に関する予想を解決すること。
• 新しい実現機構を介して、等化安定ホモトピー論とモチビック安定ホモトピー論の橋渡しをすること。
• コホモロジーが𝒜ℝ//𝒜ℝ(2)および𝒜ℂ//𝒜ℂ(2)に同型であるようなモチビックモジュラー形式のモデルを提供すること。

提案手法

• Tate図式と[BR17]におけるtmfのTateスペクトラムの決定を用いて、tmf_{C₂}と表記されるtmfのC₂-equivariant版を構築する。
• Betti実現関手とその右随伴関手Singを用い、Spec(ℝ)上のA¹安定ホモトピー圏において、等化スペクトラムとモチビックスペクトラムを関連付ける。
• nilpotent completion関手(·)^∧_{Sing(𝕊})を用い、c*tmf_{C₂}のプッシュアウトからモチビックスペクトラムmmf_ℝを構成する。
• モチビックスペクトラム(E)^∧_{Sing(𝕊})のモチビックコホモロジーが、スカラー拡張を介してEのC₂-equivariantコホモロジーから生じることを活用する。
• H𝔽_*^{*}(B′ℤ/2) ≅ H𝔽_*[c,b]/(c² + ρc + τb)および写像ι*: H𝔽_*[x] → H𝔽_*[c,b]/(c² + ρc + τb)を用い、等化設定における双対スティーナード代数を計算する。
• 写像Ψ: 𝒜_* → 𝔸_*が、ρ, τおよび双対スティーナード代数の生成子ξ_i, τ_iを含む明示的式によって定義される𝔽代数写像であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Spec(ℝ)上のモチビックスペクトラムとして、そのモチビックコホモロジーが𝒜ℝ//𝒜ℝ(2)に同型であるようなモジュラー形式のモチビックスペクトラムが存在するか？
• RQ2 C₂-equivariant tmfを用いた等化的アプローチによって、モチビックモジュラー形式を構成できるか？
• RQ3 C₂-equivariantスペクトラムのコホモロジーとそのモチビック実現のコホモロジーとの間の正確な関係は何か？
• RQ4 モチビックスティーナード代数は、モチビックモジュラー形式の文脈において、その等化的対応物とどのように関係するか？
• RQ5 Betti実現とnilpotent completionの機構を用いて、等化スペクトラムからモチビックスペクトラムを体系的に構成できるか？

主な発見

• 本稿は、Spec(ℝ)上のモチビックスペクトラムmmf_ℝを構成し、H𝔽_ℝ^*(mmf_ℝ) ≅ 𝒜ℝ//𝒜ℝ(2)を満たすことを確認し、Isaksenの予想を裏付けた。
• プッシュバックを用いて、Spec(ℂ)上のモチビックスペクトラムmmf_ℂを構成し、H𝔽_ℂ^*(mmf_ℂ) ≅ 𝒜ℂ//𝒜ℂ(2)を得た。
• 主な構成はmmf_ℝ := (c*tmf_{C₂})^∧_{Sing(𝕊})であり、tmf_{C₂}はtmfのC₂-equivariant版である。
• モチビックスペクトラム(E)^∧_{Sing(𝕊})のモチビックコホモロジーは、スカラー拡張を介してC₂-equivariantコホモロジーから得られ、等化コホモロジーとモチビックコホモロジーの間の明確な関係を確立する。
• 写像Ψ: 𝒜_* → 𝔸_*は明示的に計算され、Ψ(ξ̄₁) = τ₀ + ρξ₁およびΨ(ξ̄₂) = ρ³ξ₂ + ρ²ξ₁τ₁ + ρτ₀τ₁ + ττ₁が得られた。
• 証明は、ι*, λ*, およびΨを含む図式の可換性に依拠し、双対スティーナード代数における共役を用いてΨ(ξ̄_n)の式を検証した。