[論文レビュー] Motivic obstruction to rationality of a very general cubic hypersurface in $\mathbb P^5$. Part I

Vladimir Guletskiĭ|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲面 $S$ の超越的モチーフ $M^2_{\text{tr}}(S)$ が有限次元的かつ整数的意味で分解不能であるならば、そのような曲面に対応する非常に一般な $\mathbb{P}^5$ 内の三次超曲面は有理的でないことを示すことで、モチーフ的障害を確立する。この結果は、例えば、フェルマーの六次曲線の自己積である $S$ に対して適用可能である。

ABSTRACT

Let $S$ be a smooth projective surface over a field. We introduce the notion of integral decomposability and, respectively, the opposite notion of integral indecomposability, of the transcendental motive $M^2_{ m tr}(S)$. If the transcendental motive is indecomposable rationally, then it is indecomposable integrally. For example, $M^2_{ m tr}(S)$ is rationally, and hence integrally indecomposable if $S$ is the self-product of an elliptic curve with complex multiplication, or an algebraic $K3$-surface, if we know that its motive is finite-dimensional. In the paper we prove that $M^2_{ m tr}(S)$ is integrally indecomposable when $S$ is the self-product of a smooth projective curve having enough morphisms onto an elliptic curve with complex multiplication over the ground field. This applies, for example, if $S$ is the self-product of the Fermat sextic in $\mathbb P^2$. Our main result asserts that if the transcendental motive $M^2_{ m tr}(S)$ is finite-dimensional and integrally indecomposable, for any smooth projective surface $S$ over $\mathbb C$, then a very general cubic hypersurface in $\mathbb P^5$ is not rational.

研究の動機と目的

• 三次超曲面のモチーフ的障害を、曲面の幾何学を用いて $\mathbb{P}^5$ 内で確立すること。
• 滑らかな射影的曲面 $S$ に対して、超越的モチーフ $M^2_{\text{tr}}(S)$ の整数的分解不能性を定義し、その性質を研究すること。
• $S$ が複素乗法を持つ楕円曲線へ十分な数の準同型をもつ曲線の自己積である場合に、$M^2_{\text{tr}}(S)$ が整数的意味で分解不能であることを証明すること。
• この結果を応用して、モチーフが有限次元的かつ整数的意味で分解不能である限り、$\mathbb{P}^5$ 内の非常に一般な三次超曲面が有理的ではないことを示すこと。
• 有理的分解不能性を超えて、より強い整数的条件にまで拡張されたモチーブ的アプローチによる有理的でなさの障害を、既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 滑らかな射影的曲面 $S$ に対して、超越的モチーフ $M^2_{\text{tr}}(S)$ の整数的分解不能性および分解不能性の概念を導入すること。
• 有理的分解不能性が整数的分解不能性を含むことを証明し、整数的分解不能性の十分条件を確立すること。
• $C$ を、基底体上に複素乗法を持つ楕円曲線へ十分な数の準同型をもつ滑らかな射影的曲線とするとき、$S = C \times C$ のモチーブを分析すること。
• モチーブの有限次元性と準同型の構造を用いて、$M^2_{\text{tr}}(S)$ が整数的意味で分解不能であることを示すこと。
• モチーブ的障害理論を適用し、$M^2_{\text{tr}}(S)$ が有限次元的かつ整数的意味で分解不能である場合に、$\mathbb{P}^5$ 内の非常に一般な三次超曲面が有理的ではないことを導出すること。
• 既知の $K3$ 曲面および複素乗法を持つ楕円曲線に関する結果を活用し、$S$ に関する条件を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的曲面 $S$ に対して、その超越的モチーフ $M^2_{\text{tr}}(S)$ がいつ整数的意味で分解不能になるか。
• RQ2 $M^2_{\text{tr}}(S)$ が整数的意味で分解不能であるならば、$\mathbb{P}^5$ 内の非常に一般な三次超曲面は有理的ではないか。
• RQ3 超越的モチーフの整数的分解不能性に置き換えることで、有理的でなさのモチーブ的障害を強化できるか。
• RQ4 フェルマーの六次曲線の自己積の超越的モチーフは整数的意味で分解不能か。
• RQ5 曲線から複素乗法を持つ楕円曲線への準同型の存在が、モチーブの整数的分解不能性に果たす役割は何か。

主な発見

• $S$ が、基底体上に十分な数の準同型をもつ滑らかな射影的曲線の自己積である場合、その超越的モチーフ $M^2_{\text{tr}}(S)$ は整数的意味で分解不能である。
• このような曲面 $S$ に対して、モチーブ $M^2_{\text{tr}}(S)$ は有限次元的かつ整数的意味で分解不能であり、主定理の主要仮定を満たす。
• 主結果は、$M^2_{\text{tr}}(S)$ が有限次元的かつ整数的意味で分解不能であるならば、$\mathbb{P}^5$ 内の非常に一般な三次超曲面は有理的ではないことを確立する。
• この結果は、$C$ が $\mathbb{P}^2$ 内のフェルマーの六次曲線である $S = C \times C$ に対しても適用可能である。なぜなら、$C$ は十分な数の準同型をもつ複素乗法を持つ楕円曲線へ写像可能だからである。
• 整数的分解不能性は有理的分解不能性よりも強い条件であり、本稿ではこれを用いて有理的でなさの新たな障害を導出している。
• 本稿は、有理的モチーブに基づいた既存の結果を超えて、非有理的性のモチーブ的基準を拡張する。