[論文レビュー] Big I-functions

Ionuţ Ciocan-Fontanine, Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、点を打った $ℚ^1$ から [W/G] への準マップグラフを用いて、GIT商 W//G に対する新しい大きな I 関数を導入する。この I 関数は、先行研究における小さな I 関数を用いて表現される。大きな I 関数は、Givental のラグランジュ・コーンを生成すると予想され、W//G が良好な性質を持つトーラス作用をもつ場合にその予想は証明される。

ABSTRACT

We introduce a new big I-function for certain GIT quotients W//G using the quasimap graph space from infinitesimally pointed $\mathbb{P}^1$ to the stack quotient [W/G]. This big I-function is expressible by the small I-function introduced in arXiv:0908.4446 [math.AG] and arXiv:1106.3724 [math.AG]. The I-function conjecturally generates the Lagrangian cone of Gromov-Witten theory for W//G defined by Givental. We prove the conjecture when W//G has a torus action with good properties.

研究の動機と目的

• 特定の GIT 商 W//G に対して、準マップグラフ空間を用いて新しい大きな I 関数を定義すること。
• Gromov-Witten 理論における以前の研究で定義された小さな I 関数を用いて、大きな I 関数を表現すること。
• 大きな I 関数が W//G における Givental の形式的理論のラグランジュ・コーンを生成すると予想すること。
• W//G が良い幾何的性質を持つトーラス作用をもつ場合にその予想を証明すること。

提案手法

• 無限小的に点を打った $ℚ^1$ からスタック商 [W/G] への写像をパラメトライズする準マップグラフ空間を用いて、大きな I 関数を構成する。
• arXiv:0908.4446 および arXiv:1106.3724 で以前に定義された小さな I 関数の変換として、大きな I 関数を表現する。
• Givental のラグランジュ・コーンの形式的理論を用いて、大きな I 関数を W//G の Gromov-Witten ポテンシャルと関連付ける。
• トーラス局在化技術を適用し、W//G が有限個の固定点と良好な等変性を持つトーラス作用をもつ場合に、予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点を打った $ℚ^1$ からの準マップグラフを用いて、GIT 商 W//G に対して大きな I 関数を構成できるか？
• RQ2 この新しい大きな I 関数は、Gromov-Witten 理論における以前の研究で得られた小さな I 関数とどのように関係するか？
• RQ3 大きな I 関数は、W//G における Givental の形式的理論のラグランジュ・コーンを生成するか？
• RQ4 大きな I 関数がラグランジュ・コーンを生成するとする予想は、どのような幾何的条件下で証明できるか？

主な発見

• 大きな I 関数は、無限小的に点を打った $ℚ^1$ から [W/G] への準マップグラフを用いて明示的に構成された。
• 大きな I 関数が、arXiv:0908.4446 および arXiv:1106.3724 で得られた小さな I 関数を用いて表現可能であることが示された。
• 大きな I 関数は、W//G における Givental の Gromov-Witten 理論のラグランジュ・コーンを生成すると予想される。
• W//G が有限個の固定点をもち、良好な等変性を持つトーラス作用をもつ場合に、その予想は真であると証明された。