[論文レビュー] Mubs and Hadamards of Order Six

Ingemar Bengtsson, Wojciech Bruzda+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2006

graph theory and CDMA systems参考文献 20被引用数 21

ひとこと要約

本稿は6次元量子系における相互に unbiased な基底（MUB）の存在を調査し、理論的な上限である7つに対しては3つのみが得られた。新しい基底間の距離尺度と、特にアフィン族 F(x₁,x₂) である複素ヘルミート行列を分析することで、4次元のヘルミート行列族の存在を示唆する証拠を提示した。これは従来の予想よりもはるかに大きな探索空間を示しているが、完全なMUB集合は得られなかった。

ABSTRACT

We report on a search for mutually unbiased bases (MUBs) in 6 dimensions. We find only triplets of MUBs, and thus do not come close to the theoretical upper bound 7. However, we point out that the natural habitat for sets of MUBs is the set of all complex Hadamard matrices of the given order, and we introduce a natural notion of distance between bases in Hilbert space. This allows us to draw a detailed map of where in the landscape the MUB triplets are situated. We use available tools, such as the theory of the discrete Fourier transform, to organise our results. Finally we present some evidence for the conjecture that there exists a four dimensional family of complex Hadamard matrices of order 6. If this conjecture is true the landscape in which one may search for MUBs is much larger than previously thought.

研究の動機と目的

• 6次元ヒルベルト空間における完全な相互に unbiased な基底（MUB）集合の存在を調査すること。理論的な最大値は7であるが、これまでに確認されたのは3つのみである。
• 6次元の複素ヘルミート行列の多様体の様相をマップし、同値類とその構造的性質を特定すること。
• ヒルベルト空間内の正規直交基底間の幾何的距離尺度を導入し、unbiasedness を定量化し、MUB構成を分析すること。
• Diţă行列の周辺に4次元の複素ヘルミート行列族が存在するかどうかを調査し、既知の2次元族を超える拡張を検討すること。
• 有理数の単位根に制限したベクトルを用いたMUB完全集合の構成可能性を評価し、ブロック構造を持つヘルミート行列を分析すること。

提案手法

• ヒルベルト空間内の正規直交基底間の距離尺度を定義し、最大値1が相互に unbiased であることを示す。
• 24乗根などの単位根の性質と離散フーリエ変換を用いて、有理数位相因子を有するMUB3つ組を体系的に探索する。
• 対角ユニタリ行列および置換行列による同値関係を適用し、ヘルミート行列を同値類に分類し、特に位相を除去した形に注目する。
• アフィン族 F(x₁,x₂) に対してパラメータの3次までユニタリ条件を解き、4つの未定位相が得られ、ヘルミート行列空間における4次元成分の存在を示唆する。
• ブロック構造を持つヘルミート行列と、標準基底およびフーリエ基底との整合性を分析し、追加のMUB3つ組を生成する。
• 数値的および解析的技法を用いてBeauchamp-Nicoara行列とTao行列を研究し、Diţă行列の周辺に4次元のヘルミート行列族が存在するという仮説を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理論的上限は7つであるが、6次元ヒルベルト空間において完全な7つのMUB集合が存在可能であるか？ これまでに確認されたのは3つのみである。
• RQ2 既知の2次元族を超える6次元の複素ヘルミート行列族が4次元であるという証拠はあるか？
• RQ3 正規直交基底間の幾何的距離を用いてunbiasednessを定量化し、異なるMUB構成を区別するにはどうすればよいか？
• RQ4 有理数の単位根への制限がMUBの発見をどの程度制限するか？ また、非有理数位相因子はより好都合な構成をもたらす可能性はあるか？
• RQ5 離散フーリエ変換およびブロック構造を持つヘルミート行列の性質は、6次元におけるMUB3つ組の構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 6次元では完全な7つのMUB集合は得られず、有理数の単位根と構造的ヘルミート行列を用いた広範な探索にもかかわらず、3つのみが特定された。
• 基底間の距離尺度によると、一部のMUB3つ組の第3基底は最大unbiasednessに極めて近く、D²_c = 0.95 であり、平均の距離二乗6/7よりも著しく1に近い。
• アフィン族 F(x₁,x₂) に対して3次までのユニタリ方程式を解いた結果、4つの未定位相が得られ、ヘルミート行列空間における4次元成分の存在を支持する。
• 複数の1パラメータ解と収束挙動に基づく強力な証拠により、Diţă行列の周辺に4次元のヘルミート行列族が存在すると示唆されるが、収束問題は未解決のままである。
• フーリエ基底はMUB3つ組の豊富な供給源であり、構造の多くは離散フーリエ変換と対称性の性質によって説明可能である。
• Tao行列の存在は、ヘルミート行列の完全な集合が非連結であることを示唆しており、すべての解を記述する1つの連続的族では不十分である。4次元族が存在するならば、no-go定理は普遍的に適用されない可能性がある。