[論文レビュー] Mukai implies McKay: the McKay correspondence as an equivalence of derived categories

Tom Bridgeland, Alastair King+1 more|ArXiv.org|Aug 6, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 65

ひとこと要約

この論文は、商3次元多重分岐体 $ X = M/G $ のクレパント解消 $ Y $ 上の両立層の導来カテゴリと、元の3次元多重分岐体 $ M $ 上の $ G $-不変両立層の導来カテゴリの間の McKay 対応を、同値関係として確立する。Nakamura の $ G $-ヒルベルトスキームがクレパント解消であることを証明し、導来同値関係が K-理論に同型を誘導することを示す。この結果は、フーリエ＝ムカイ変換を用いて、古典的 McKay 対応を高次元に一般化するものである。

ABSTRACT

Let G be a finite group of automorphisms of a nonsingular complex threefold M such that the canonical bundle omega_M is locally trivial as a G-sheaf. We prove that the Hilbert scheme Y=GHilb M parametrising G-clusters in M is a crepant resolution of X=M/G and that there is a derived equivalence (Fourier- Mukai transform) between coherent sheaves on Y and coherent G-sheaves on M. This identifies the K theory of Y with the equivariant K theory of M, and thus generalises the classical McKay correspondence. Some higher dimensional extensions are possible.

研究の動機と目的

• 2次元を超える次元への古典的 McKay 対応の一般化を、導来カテゴリの観点から提示すること。
• $ M $ が非特異な複素3次元多重分岐体で、$ G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ であるとき、$ \operatorname{G-Hilb}(M) $ が $ X = M/G $ のクレパント解消であることを証明すること。
• $ Y $ を $ G $-ヒルベルトスキームとするとき、$ \mathrm{D}(Y) $ と $ \mathrm{D}^G(M) $ の間の導来同値関係（フーリエ–ムカイ変換）を確立すること。
• この導来同値関係が、トポロジカル K-理論に同型を誘導することを示し、オルビフォールドオイラー数予想を説明すること。

提案手法

• $ X = M/G $ のクレパント解消の候補として $ G $-ヒルベルトスキーム $ Y = \operatorname{G-Hilb}(M) $ を用い、自由な $ G $-軌道を含む既約成分に注目する。
• $ Y \times M $ 上の普遍的 $ G $-クラスター $ \mathcal{Z} \subset Y \times M $ を用いてフーリエ–ムカイ変換を定義し、導来カテゴリ間の函手を誘導する。
• ブリッジランドの導来カテゴリと安定性条件に関する研究手法を活用して、導来カテゴリの同値関係を証明する。
• 変換が同値であるための必要十分条件として、カーネルが K-理論に同型を誘導し、特定の半直交分解条件を満たすことを利用する。
• トポロジカル K-理論とチャーン類の同型を用いて、導来同値関係とオルビフォールドオイラー数予想との関係を関係づける。
• クーメル面の場合に対応を検証し、 $ M $ 上の平坦な $ G $-ラインバンドルが $ Y $ 上の $ -2 $-曲線に台を持つラインバンドルに対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ M $ が非特異な3次元多重分岐体で、$ G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ であるとき、$ G $-ヒルベルトスキーム $ \operatorname{G-Hilb}(M) $ は $ M/G $ のクレパント解消であるか？
• RQ2 解消された多様体 $ Y $ 上の両立層の導来カテゴリと、元の多様体 $ M $ 上の $ G $-不変両立層の導来カテゴリの間に、導来同値関係が存在するか？
• RQ3 導来カテゴリとフーリエ–ムカイ変換を用いて、古典的 McKay 対応を高次元に一般化できるか？
• RQ4 導来同値関係が、トポロジカル K-理論に同型を誘導するか。これにより、オルビフォールドオイラー数予想が説明できるか？
• RQ5 クーメル面の場合に、 $ M $ 上の平坦な $ G $-ラインバンドルは、解消された多様体 $ Y $ 上のどのラインバンドルに対応するか？

主な発見

• 任意の有限部分群 $ G \subset \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ に対して、$ G $-ヒルベルトスキーム $ \operatorname{G-Hilb}(M) $ は $ X = M/G $ のクレパント解消であることが確認され、Nakamura の予想が裏付けられた。
• $ Y $ を $ G $-ヒルベルトスキームとするとき、$ \mathrm{D}(Y) $ と $ \mathrm{D}^G(M) $ の間にはフーリエ–ムカイ同値関係が存在し、McKay 対応が導来同値関係として確立された。
• 導来同値関係は、トポロジカル K-理論 $ \mathcal{K}^*(Y) $ と $ G $-不変 K-理論 $ \mathcal{K}_G^*(M) $ の間で、順序付き同型を誘導し、オルビフォールドオイラー数予想 $ e(M,G) = e(Y) $ が裏付けられた。
• クーメル面の場合、アーベル多様体 $ M $ 上の平坦な $ G $-ラインバンドルは、K3 多様体 $ Y $ 上のラインバンドル $ \mathcal{O}_Y(D(\rho)) $ に対応する。ここで $ D(\rho) = \frac{1}{2} \sum \rho(x_i) C_i $ であり、$ C_i $ は $ -2 $-曲線である。
• 導来カテゴリのアプローチにより、3次元におけるクレパント解消の存在を、事例ごとの分析を避け、一様かつ一般化された形で証明できた。
• すべての $ \mathrm{SL}(3,\mathbb{C}) $ の有限部分群に対して、K-理論上の対応が同型であることが示され、アーベル群の場合の先行結果が高次元に一般化された。