[論文レビュー] Multi-dimensional Diffeomorphism and Current Algebras from Virasoro and Kac-Moody Currents

T. A. Larsson|ArXiv.org|Jan 6, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$DGRO(N,\mathfrak{g})$代数——微分同相、ゲージ、再パラメータ化、観測者対称性を統合したもの——を$N$次元時空でFock表現として構成する。そのために、関連する電流を1次元のVirasoroおよびアフィンKac-Moody電流の形で表現する。主な結果は、再パラメータ化部分代数に対するSugawara型構成と、無限ジャット極限で$p^{N+2}$に発散するアーベル電荷の明示的式であるが、ジャット順序間のキャンセレーションにより$N \leq r$のとき安定化される。これは、標準的な$\widehat{\mathfrak{g}}$モジュールでは捉えきれない真に高次元的な効果を示している。

ABSTRACT

The recently constructed Fock representations of $N$-dimensional diffeomorphism and current algebras are reformulated in terms of one-dimensional currents, satisfying Virasoro and affine Kac-Moody algebras.

研究の動機と目的

• N次元の微分同相および電流代数のFock表現を、1次元のVirasoroおよびKac-Moody電流を用いて再定式化すること。
• これらの電流が、非中心拡大を含む完全な$DGRO(N,\mathfrak{g})$代数を満たすことを検証すること。
• 無限ジャット極限（$p \to \infty$）におけるアーベル電荷の振る舞いを分析し、ジャット和による安定化を検討すること。
• この構成が、横方向微分と有限ジャット順序に起因する、標準的な$\widehat{\mathfrak{g}}$モジュールでは捉えきれない真に高次元的な効果をどのように捉えているかを示すこと。

提案手法

• $p$次の有限ジャット順序まで、1次元の観測者軌道の周りで$N$次元関数をテイラー展開し、その後正規順序化を行う。
• 得られたFock振動子を、VirasoroおよびアフィンKac-Moody代数を満たす1次元電流の二重線形結合として表現する。
• 正規順序積と演算子積展開を用いて、これらの電流の関数として$DGRO(N,\mathfrak{g})$生成子を構成する。
• 組合せ的恒等式とデルタ関数の縮約を用いて、ジャット順序$p$および次元$N$の関数としてアーベル電荷$c_j$の明示的式を導出する。
• $p-r$から$p$までのジャット順序における直接和の構成を適用し、アーベル電荷の主要発散をキャンセルする。
• Virasoro電流からSugawara構成を用いて再パラメータ化代数$diff(1)$を実現し、中心指数$c_4 = 2N$を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fock表現を、1次元のVirasoroおよびKac-Moody電流のみを用いて$DGRO(N,\mathfrak{g})$代数に構成できるか。
• RQ2 得られる電流が、非中心拡大を含む完全な$DGRO(N,\mathfrak{g})$代数を満たすか。
• RQ3 $p \to \infty$の極限におけるアーベル電荷の振るまいは何か。その発散は緩和可能か。
• RQ4 標準的な$\widehat{\mathfrak{g}}$モジュールでは捉えきれない高次元的効果は存在するか。それらはどのようにジャット順序と横方向微分に符号化されているか。
• RQ5 アーベル電荷の発散は、複数のジャット順序にわたる和を取ることで安定化可能か。

主な発見

• アーベル電荷は無限ジャット極限で$p^{N+2}$に発散し、最大発散は$p^{N+2}$に比例する。これは$p \to \infty$の極限で表現が破綻することを示唆する。
• $p-r$から$p$までのジャット順序における実現の直接和を取ることで、アーベル電荷の主要発散がキャンセルされ、有限の結果が得られる。
• $N = r$のとき、アーベル電荷は$p$に依存しなくなり、$N < r$のとき、和の中で消える。これにより表現が安定化される。
• 再パラメータ化部分代数は、Virasoro電流からのSugawara構成によって実現され、中心指数$c_4 = 2N$をとる。これは$diff(1)$代数との整合性を確認する。
• この構成は真に高次元的な効果を明らかにする。実現は、$p$次の微分と横方向成分に依存しており、これらは1次元の$\widehat{\mathfrak{g}}$モジュールには含まれない。
• $L{\cal L}$および$L{\cal J}$の括弧は、演算子積展開とデルタ関数の縮約を用いて導出され、$c_3$および$c_6$の明示的式が二項係数と$p$の関数として得られる。