[論文レビュー] Multi-factor approximation of rough volatility models

Eduardo Abi Jaber, Omar El Euch|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラプラス変換近似を用いて非マルコフ的分数型カーネルを指数型カーネルの和に置き換えることで、効率的なシミュレーションと価格設定を可能にする、粗いボラティリティモデルの多要因マルコフ近似を提案する。主な貢献は、弱収束する、取り扱い可能なマルコフモデルであり、対数株価の特性関数に現れる分数型リッカティ方程式を解く数値的手法を提供することにある。

ABSTRACT

Rough volatility models are very appealing because of their remarkable fit of both historical and implied volatilities. However, due to the non-Markovian and non-semimartingale nature of the volatility process, there is no simple way to simulate efficiently such models, which makes risk management of derivatives an intricate task. In this paper, we design tractable multi-factor stochastic volatility models approximating rough volatility models and enjoying a Markovian structure. Furthermore, we apply our procedure to the specific case of the rough Heston model. This in turn enables us to derive a numerical method for solving fractional Riccati equations appearing in the characteristic function of the log-price in this setting.

研究の動機と目的

• 粗いボラティリティモデルの非マルコフ的かつ非セミマーティングル構造のための計算上の非実行性に対処すること。
• 歴史的およびインプライド・ボラティリティ・スプレッドへのフィットを保持する、取り扱い可能なマルコフ近似を構築すること。
• 粗いヘストンモデルの対数株価の特性関数に現れる分数型リッカティ方程式を解くための数値的手法を提供すること。
• 粗いヘストンモデルのハーケスに基づく近似を、より広範な粗いボラティリティモデルのクラスへ一般化すること。

提案手法

• 分数型カーネル $ K(t) = \frac{t^{H-1/2}}{\Gamma(H+1/2)} $ を正の測度 $ \mu $ のラプラス変換として近似し、$ K(t) = \int_0^\infty e^{-\gamma t} \mu(d\gamma) $ を得る。
• 測度 $ \mu $ を有限個のデルタ関数の和 $ \mu^n = \sum_{i=1}^n c_i^n \delta_{\gamma_i^n} $ で近似し、滑らかにしたカーネル $ K^n(t) = \sum_{i=1}^n c_i^n e^{-\gamma_i^n t} $ を得る。
• 分散過程が $ n $ 個の異なる平均回帰速度 $ \gamma_i^n $ を持つ、平均回帰型オルンシュタイン＝ウーレンベルク過程の重み付き和である多要因確率的ボラティリティモデル $ (S^n, V^n) $ を構築する。
• 確率的ボラティリアス方程式の結果を用いて、近似モデル $ (S^n, V^n) $ の強い存在と一意性を確立する。
• 近似のマルコフ構造を活用して、対数株価の特性関数に現れる分数型リッカティ方程式を解くための数値スキームを導出する。
• 比較原理とリゾルベント理論を用いて、カーネルの正規リゾルベントを介して、分数型リッカティ方程式の解をバウンディングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の粗いボラティリティモデルに対して、履歴的およびインプライド・ボラティリティにフィットする多要因マルコフ近似を構築できるか？
• RQ2 粗いボラティリティモデルにおける非マルコフ的分数型カーネルを、指数関数の和で近似することで、マルコフ構造を回復できるか？
• RQ3 多要因近似の収束挙動は、元の粗いボラティリティモデルに対してどうなるか？
• RQ4 この近似を用いて、粗いヘストンモデルの対数株価の特性関数を数値的に計算できるか？
• RQ5 近似下での特性関数に現れる分数型リッカティ方程式の解に対する境界は何か？

主な発見

• 一般の条件下で、多要因近似モデル $ (S^n, V^n) $ は強くかつ一意に解かれることが保証され、数値的安定性が確保される。
• $ n \to \infty $ のとき、近似は元の粗いボラティリティモデルに弱収束し、ボラティリティ過程の統計的性質が保持される。
• マルコフ構造を回復するため、粗いボラティリティモデルにおけるデリバティブの効率的シミュレーションと価格設定が可能になる。
• 元の粗いヘストンモデルでは扱いにくい、対数株価の特性関数に現れる分数型リッカティ方程式を解くための数値的手法が導出された。
• 分数型リッカティ方程式の解は、正規リゾルベント $ E_\lambda $ を含む明示的な式でバウンディングされ、$ |h(t)| \leq |h_0| + (\|w\|_{\infty,T} + \lambda|h_0|) \int_0^T E_\lambda(s) ds $ を満たす。
• この近似は粗いヘストンモデルを越えて適用可能であり、一般の $ \sigma $ を持つより広範な粗いボラティリティモデルへのハーケスに基づくアプローチの一般化を可能にする。