[論文レビュー] Multi-input Schrödinger equation: controllability, tracking, and application to the quantum angular momentum

Ugo Boscain, Marco Caponigro+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Laser-Matter Interactions and Applications参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、Lie代数的およびGalerkin近似法を用いて、縮退スペクトルを有する多入力双線形シュレーディンガー方程式における近似的可制御性、同時可制御性、およびモジュラス内追跡の十分条件を確立する。主な貢献は、スペクトルの縮退性や共鳴性が制御を妨げていた過去の障壁を克服する一般化されたフレームワークを提供することであり、摂動を用いないことで、回転する極性分子のような量子角運動量系の制御を可能にする。

ABSTRACT

We present a sufficient condition for approximate controllability of the bilinear discrete-spectrum Schrödinger equation exploiting the use of several controls. The controllability result extends to simultaneous controllability, approximate controllability in $H^s$, and tracking in modulus. The result is more general than those present in the literature even in the case of one control and permits to treat situations in which the spectrum of the uncontrolled operator is very degenerate (e.g. it has multiple eigenvalues or equal gaps among different pairs of eigenvalues). We apply the general result to a rotating polar linear molecule, driven by three orthogonal external fields. A remarkable property of this model is the presence of infinitely many degeneracies and resonances in the spectrum preventing the application of the results in the literature.

研究の動機と目的

• 双線形シュレーディンガー方程式に高次なスペクトルの縮退（複数の固有値や等しいスペクトルギャップを含む）が生じる場合、一般化された可制御結果が不足しているという問題に対処すること。
• 無限次元ヒルベルト空間においても、近似的可制御性を同時に可制御性およびモジュラス内追跡に拡張すること。
• 回転する3次元対称分子のような、強いスペクトル的縮退性を示す量子系を摂動を用いずに制御する非摂動的手法を提供すること。
• Galerkin近似におけるLie代数的条件に基づく構成的制御設計手法を確立し、アルゴリズム的制御合成を可能にすること。
• 直交する3つの場にさらされる極性線形分子における量子角運動量のような物理系への適用可能性を示すこと。

提案手法

• 有限次元Galerkin部分空間における制御作用素が生成するLie代数を解析することで、可制御性を保証するLie–Galerkin制御条件を提案する。
• ドリフトハミルトニアンの最初のN固有状態が張る有限次元部分空間上でのシュレーディンガー方程式のGalerkin近似を用いる。
• 直接除去できない制御作用素の対角成分を扱うために凸化技術を適用し、縮退部分空間の制御を可能にする。
• 散乱効果が存在する場合でも、所望の軌道のモジュラス内追跡を保証するため、修正されたLie–Galerkinストーキング条件を導入する。
• 所望の精度に依存しない一様な$L^1$ノルムバインドを持つ区分定数制御を構成することで、$L^1$-有界な制御合成を確立する。
• 状態の正則性を保つために、Sobolev型ノルム$H^{s/2}$における発展作用素の一様有界性を保証する$s$-弱結合条件に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトハミルトニアン$H_0$のスペクトルが高次に縮退している場合（複数の固有値や等しいスペクトルギャップを含む）、双線形シュレーディンガー方程式に対して近似的可制御性が達成可能か？
• RQ2 摂動を施さずに、複数の初期状態に対して$H^{s/2}$ノルムにおいて同時に可制御性およびモジュラス内追跡が達成可能か？
• RQ3 複数の制御入力を用いることで、対称性に起因する縮退性により単一制御法が失敗する系に対しても可制御性が達成可能か？
• RQ4 回転する3次元対称分子のような、無限に多くの縮退性を示す量子系を、摂動を用いずに制御する非摂動的手法を開発可能か？
• RQ5 システムのLie代数的構造に基づく構成的アルゴリズムによって、明示的かつ$L^1$-有界な制御を構築可能か？

主な発見

• 本稿は、$H_0$のスペクトルが高次に縮退している場合（無限に多くの縮退性を含む）でも適用可能な、多入力双線形シュレーディンガー方程式の近似的可制御性の十分条件を確立する。
• 本手法により、$H^{s/2}$ノルムにおいて複数の初期状態の同時近似的可制御性が達成可能であり、所望の精度に依存しない一様な$L^1$-バインドを有する制御入力が得られる。
• 本フレームワークは、ハミルトニアンを摂動しないまま、任意の所望の軌道のモジュラス内追跡を可能にする。これは、散乱状態を有する系において特に重要である。
• 本結果は、単一入力の場合でさえも、先行研究を凌駕する一般性を有し、制御項$u(t)x$を有するラプラス＝ディリクレ作用素のような系にも適用可能である。
• 証明は構成的であり、[CBCS11]で示されたように、Lie–Galerkinストーキング条件を活用することで、明示的な制御則を計算するアルゴリズムに導く。
• 本手法は、[BCCS12]などの先行研究が縮退性を打破するために摂動に依存していたという制限を克服し、完全に縮退した構造を直接扱うことで、その欠点を解消する。