[論文レビュー] Multi-level Picard approximations of high-dimensional semilinear parabolic differential equations with gradient-dependent nonlinearities

Martin Hutzenthaler, Thomas Kruse|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、勾配に依存する非線形項を有する高次元半線形放物型PDEの近似のために、多層ピカード反復法とガウス＝ルジャンドル求積法を組み合わせた手法を提案する。適切な正則性条件下で、計算複雑性が次元dおよび逆精度εの両方に関して多項式的に増加することを証明しており、具体的には任意のδ > 0に対してO(dε^{-(4+δ)})で有界である。これは、高次元PDE近似分野における長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

Parabolic partial differential equations (PDEs) and backward stochastic differential equations (BSDEs) have a wide range of applications. In particular, high-dimensional PDEs with gradient-dependent nonlinearities appear often in the state-of-the-art pricing and hedging of financial derivatives. In this article we prove that semilinear heat equations with gradient-dependent nonlinearities can be approximated under suitable assumptions with computational complexity that grows polynomially both in the dimension and the reciprocal of the accuracy.

研究の動機と目的

• 勾配に依存する非線形項を有する高次元半線形放物型PDEの近似における計算課題に対処すること。
• このようなPDEが次元dおよび逆精度εの両方に関して計算複雑性が多項式的に増加するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 従来の手法が一般の終端条件のもとで取り扱えなかった勾配に依存する非線形項を扱えるように、既存のピカードに基づく手法を拡張すること。
• 提案手法の計算複雑性に対して厳密なバウンドを確立し、高次元におけるスケーラビリティを保証すること。

提案手法

• 半線形PDEの解を段階的に近似するために、多層ピカード反復を用いる。
• ピカード反復における時間積分を効率的に近似するために、滑らかな被積分関数に対してスペクトル収束を示すガウス＝ルジャンドル求積則を統合する。
• 多層スキームの各レベルにおけるグローバル誤差を制御するために、再帰的誤差バウンド（不等式54）を用いる。
• 勾配に依存する非線形項の存在下での誤差伝播を管理するために、離散グロワンウォール型不等式とセミノルム推定を適用する。
• 再帰的誤差推定を繰り返し適用することで、非再帰的グローバル誤差バウンド（不等式65）を導出する。
• 後向きストキャスティック微分方程式（BSDEs）によるPDE解の確率的表現とモンテカルロサンプリングを用いて数値評価を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配に依存する非線形項を有する高次元半線形放物型PDEは、次元dおよび逆精度εの両方に関して計算複雑性が多項式的に増加する形で近似可能だろうか？
• RQ2 ガウス＝ルジャンドル求積法を用いた多層ピカード法は、非線形項が解の勾配に依存する場合でも多項式的複雑性を維持するだろうか？
• RQ3 標準的な正則性仮定の下で、提案手法の計算コストが任意のδ > 0に対してO(dε^{-(4+δ)})で有界であるだろうか？
• RQ4 分岐拡散法とは異なり、終端条件が小さい必要がないという点で、本手法は一般の終端条件に対しても適用可能だろうか？
• RQ5 勾配に依存する場合の計算複雑性が、次元dおよび精度εにどのように依存するのか、正確に特定できるだろうか？

主な発見

• 多層ピカード近似の計算複雑性は、任意のδ > 0に対してO(dε^{-(4+δ)})で有界である。ここでdは次元、εは所望の精度である。
• 解u∞のC∞級滑らかさを含む適切な正則性仮定のもとで、この複雑性バウンドが達成される。
• ガウス＝ルジャンドル求積法の使用により、時間積分の収束が高速化され、低複雑性を維持する上で極めて重要である。
• 誤差解析により、非再帰的グローバル誤差バウンド（不等式65）が確立され、これが複雑性推定の根拠となっている。
• 本手法は一般の終端条件に適用可能であり、非線形項が小さい必要がない。分岐拡散法とは異なり、この制約がない。
• 本結果により、提案された多層ピカードアプローチを用いることで、このクラスのPDEに対して次元の呪いが克服されることを確認した。