[論文レビュー] Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 54被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、拡散係数におけるリプシッツ連続非線形性を有する高次元の半線形2階PDEに対して、次元の呪いを克服する、新しい多層ピカード（MLP）近似法を導入する。この手法は、精度 $varepsilon^{-1}$ および次元 $d$ に対して多項式的複雑性を達成し、$d$ および $varepsilon^{-1}$ に対して計算コストが高々多項式的に増加することを証明する。これは、従来のMLP結果がアフィン線形の拡散係数に限られていたのを拡張するものである。

ABSTRACT

The recently introduced full-history recursive multilevel Picard (MLP) approximation methods have turned out to be quite successful in the numerical approximation of solutions of high-dimensional nonlinear PDEs. In particular, there are mathematical convergence results in the literature which prove that MLP approximation methods do overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of nonlinear second-order PDEs in the sense that the number of computational operations of the proposed MLP approximation method grows at most polynomially in both the reciprocal $1/ε$ of the prescribed approximation accuracy $ε>0$ and the PDE dimension $d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$. However, in each of the convergence results for MLP approximation methods in the literature it is assumed that the coefficient functions in front of the second-order differential operator are affine linear. In particular, until today there is no result in the scientific literature which proves that any semilinear second-order PDE with a general time horizon and a non affine linear coefficient function in front of the second-order differential operator can be approximated without the curse of dimensionality. It is the key contribution of this article to overcome this obstacle and to propose and analyze a new type of MLP approximation method for semilinear second-order PDEs with possibly nonlinear coefficient functions in front of the second-order differential operators. In particular, the main result of this article proves that this new MLP approximation method does indeed overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear second-order PDEs.

研究の動機と目的

• 非アフィン線形拡散係数を有する半線形2階PDEに対して、MLP手法が次元の呪いを克服できるかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 2階微分作用素におけるアフィン線形係数という制限的な仮定を超えて、MLP近似の理論的基盤を拡張すること。
• 一般のリプシッツ連続拡散係数に適用可能な新しいMLPスキームの厳密な収束解析を確立すること。
• 提案手法の計算複雑性が、逆精度 $varepsilon^{-1}$ および空間次元 $d$ の両方に対して多項式的に増加することを示すこと。

提案手法

• 半線形PDEを、解が確率的積分作用素の不動点である確率的固定点方程式に再定式化する。
• 固定点反復を近似するために、より細かい時間分割における入れ子の期待値を用いる、フル・ヒストリ再帰的多層モンテカルロ手法を採用する。
• 階層的な近似 $U_{n,M}^{d,\theta}$ を用い、各レベル $n$ が前のレベルを $M^n$ パスの再帰的モンテカルロサンプリングによって精錬する。
• 主な構成要素として、関数空間値のグロワールド型不等式を用いた再帰的誤差境界解析と、確率的固定点方程式の摂動解析を含む。
• 基礎となるSDEに対してオイラー＝マルヤム方式を適用し、近似誤差の伝播を再帰的境界によって制御する。
• 計算複雑性は、$M^n$、$d$、および問題パラメータに関して、総計算コスト $frak{C}_{d,n,M}$ の上限をとることで分析され、$d$ および $varepsilon^{-1}$ に対して多項式的増加が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリプシッツ連続拡散係数を有する半線形2階PDEに対して、MLP近似手法が次元の呪いを克服できるか？
• RQ2 拡散係数が非線形である場合に、提案されたMLPスキームが次元 $d$ および精度 $varepsilon^{-1}$ の両方に対して多項式的複雑性を維持するか？
• RQ3 2階微分作用素に非線形性が存在する状況下で、MLP近似の再帰的誤差構造を厳密に境界づけるにはどうすればよいか？
• RQ4 この新しいPDEクラスに対して、計算コストがPDEの次元 $d$ および所望の精度 $varepsilon$ にどのように依存するか？

主な発見

• 提案されたMLP近似手法は、$L^2$-意味で誤差が $varepsilon$ 未満に抑えられる計算コストが $frak{c}(1 + d\u0000frak{v})d^{(\gamma+4)(2c+2)}\u0000varepsilon^{-(\gamma+4)}$ で有界であることを示した。
• 計算複雑性は、次元 $d$ および逆精度 $varepsilon^{-1}$ の両方に対して多項式的に増加し、この手法が次元の呪いを克服することを証明した。
• 本手法は、一般の時間スケジュールおよび非アフィン線形拡散係数を有するPDEに適用可能であり、従来のアフィン線形ケースに限られた結果を拡張した。
• 関数空間値のグロワールド不等式を用いた非再帰的誤差境界を確立し、PDEにおける非線形性のリプシッツ連続性の下で収束を証明した。
• 多層モンテカルロスキームの再帰的コスト解析を通じて、複雑性の上限が導出され、パス数およびレベル数に対する明示的制御がなされた。